Forță centrală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În mecanică, forța centrală este o forță ce se exercită asupra unui punct material , al cărei suport trece în permanență printr-un punct fix și depinde numai de distanța până la acel punct, numit centru de forță.

Exemple: forța electrostatică, forța gravitațională, forța elastică.

Forța centrală este o forță conservativă.

Expresie matematică[modificare | modificare sursă]

Se definește forța centrală în raport cu un punct   O   ca fiind un vector invariant la grupul mișcărilor plane ce lasă fix punctul   O.   Deci dreapta suport a forței trece prin   O   iar modului acesteia depinde doar de distanța de la punctul ei de aplicație la punctul   O.  

 \mathbf F (\mathbf x) = F(r) \frac {\mathbf x}{r}, \; \; \mathbf x = \overrightarrow {OP}, \; \; r= |\mathbf x| ,  (1.1)

unde   P   este punctul material considerat.

Dacă   F(r)<0   forța centrală se numește atractivă, iar dacă   F(r)>0   forța centrală se numește repulsivă.

Din formula (1.1) rezultă că   rot \; \mathbf F =0,   deci forțele centrale sunt forțe conservative.

Expresia în coordonate polare[modificare | modificare sursă]

Dacă   (r, \theta)   sunt coordonatele polare ale punctului   P   atunci vectorul viteză poate fi scris:

 \vec v= (\dot r, r \dot \theta)  \;   (în raport cu reperul   (\vec e_r, \vec e_{\theta})   (1.1.1)

Fie   \vec \rho = \frac {\vec r}{r} = \frac {\vec r}{ |\vec r|}   versorul vectorului de poziție   \vec r.   Atunci:

 \vec F = F \vec \rho  = F \frac {\vec r}{r}.  (1.1.2)

Exemple[modificare | modificare sursă]

Forța elastică[modificare | modificare sursă]

În cazul forței elastice   \mathbf F (\mathbf x) = -k \mathbf x ,  unde   k=const.>0   se numește modul de elasticitate. Acest rezultat se bazează pe experimente (legea lui Hooke).

Potențialul forței elastice are forma:

 \Pi (x) = - \frac k2 \sum_{i=1}^3 x_i^2 + \mathcal C  (2.1.1)

unde   x_i, \; i= \overline {1,3}   sunt componentele carteziene ale vectorului   \mathbf x.

Forța de atracție universală[modificare | modificare sursă]

Forța pe care un corp de masă   M   o exercită asupra unui corp de masă   m   este dată de legea lui Newton:

 \mathbf F (\mathbf x) = -K \frac {Mm}{r^2} \cdot \frac {\mathbf x}{r},  (2.2.1)

unde   K   este constanta atracției universale, care este determinată experimental și are valoarea:

 K=6,673 \times 10^{-11} \frac {m^3}{kg \times s^2}.  (2.2.2)

Potențialul forței de atracție universale are forma:

 \Pi (\mathbf x) = K \frac {Mm}{r} + \mathcal C.  (2.2.3)

Conservarea momentului cinetic[modificare | modificare sursă]

Din teorema momentului cinetic   \left ( \frac {d \vec K_0}{dt} = \vec M_0 (\vec F) = \vec r \times \vec F=0  \right )   rezultă   \frac {d}{dt} \vec r \times m \vec v=0.  

Se obține integrala primă a ariilor:

 \vec r \times \vec v= \vec c = \vec r_0 \times \vec v_0  (3.1)
 \vec r (t_0) = \vec r_0, \; \vec v (t_0) = \vec v_0.

Viteza areolară a punctului   P   este:

 \frac {d \vec A}{dt} = \frac 12 (\vec r \times \vec v) = \frac {\vec c}{2}, \; \forall t \ge  t_0,  (3.2)

deci viteza areolară este constantă.

Prin urmare, mișcarea punctului   P   sub acțiunea forței centrale   \vec F   are loc astfel încât momentul cinetic și viteza areolară sunt constante vectoriale,   \forall t \ge t_0.