Forță centrală

În mecanică, forța centrală este o forță ce se exercită asupra unui punct material , al cărei suport trece în permanență printr-un punct fix și depinde numai de distanța până la acel punct, numit centru de forță.

Exemple: forța electrostatică, forța gravitațională, forța elastică.

Forța centrală este o forță conservativă.

Expresie matematică

Se definește forța centrală în raport cu un punct  $O$  ca fiind un vector invariant la grupul mișcărilor plane ce lasă fix punctul  $O.$  Deci dreapta suport a forței trece prin  $O$  iar modului acesteia depinde doar de distanța de la punctul ei de aplicație la punctul  $O.$  

$\mathbf {F} (\mathbf {x} )=F(r){\frac {\mathbf {x} }{r}},\;\;\mathbf {x} ={\overrightarrow {OP}},\;\;r=|\mathbf {x} |,$

$(1.1)$

unde  $P$  este punctul material considerat.

Dacă  $F(r)<0$  forța centrală se numește atractivă, iar dacă  $F(r)>0$  forța centrală se numește repulsivă.

Din formula (1.1) rezultă că  $rot\;\mathbf {F} =0,$  deci forțele centrale sunt forțe conservative.

Expresia în coordonate polare

Dacă  $(r,\theta )$  sunt coordonatele polare ale punctului  $P$  atunci vectorul viteză poate fi scris:

${\vec {v}}=({\dot {r}},r{\dot {\theta }})\;$  (în raport cu reperul  $({\vec {e}}_{r},{\vec {e}}_{\theta })$)

$(1.1.1)$

Fie  ${\vec {\rho }}={\frac {\vec {r}}{r}}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}$  versorul vectorului de poziție  ${\vec {r}}.$  Atunci:

${\vec {F}}=F{\vec {\rho }}=F{\frac {\vec {r}}{r}}.$

$(1.1.2)$

Exemple

Forța elastică

Articol principal: Elasticitate.

În cazul forței elastice  $\mathbf {F} (\mathbf {x} )=-k\mathbf {x} ,$  unde  $k=const.>0$  se numește modul de elasticitate. Acest rezultat se bazează pe experimente (legea lui Hooke).

Potențialul forței elastice are forma:

$\Pi (x)=-{\frac {k}{2}}\sum _{i=1}^{3}x_{i}^{2}+{\mathcal {C}}$

$(2.1.1)$

unde  $x_{i},\;i={\overline {1,3}}$  sunt componentele carteziene ale vectorului  $\mathbf {x} .$

Forța de atracție universală

Articol principal: Gravitație.

Forța pe care un corp de masă  $M$  o exercită asupra unui corp de masă  $m$  este dată de legea lui Newton:

$\mathbf {F} (\mathbf {x} )=-K{\frac {Mm}{r^{2}}}\cdot {\frac {\mathbf {x} }{r}},$

$(2.2.1)$

unde  $K$  este constanta atracției universale, care este determinată experimental și are valoarea:

$K=6,673\times 10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg\times s^{2}}}.$

$(2.2.2)$

Potențialul forței de atracție universale are forma:

$\Pi (\mathbf {x} )=K{\frac {Mm}{r}}+{\mathcal {C}}.$

$(2.2.3)$

Conservarea momentului cinetic

Din teorema momentului cinetic  $\left({\frac {d{\vec {K}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}_{0}({\vec {F}})={\vec {r}}\times {\vec {F}}=0\right)$  rezultă  ${\frac {d}{dt}}{\vec {r}}\times m{\vec {v}}=0.$ 

Se obține integrala primă a ariilor:

	${\vec {r}}\times {\vec {v}}={\vec {c}}={\vec {r}}_{0}\times {\vec {v}}_{0}$	$(3.1)$
	${\vec {r}}(t_{0})={\vec {r}}_{0},\;{\vec {v}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}.$

Viteza areolară a punctului  $P$  este:

${\frac {d{\vec {A}}}{dt}}={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}})={\frac {\vec {c}}{2}},\;\forall t\geq t_{0},$

$(3.2)$

deci viteza areolară este constantă.

Prin urmare, mișcarea punctului  $P$  sub acțiunea forței centrale  ${\vec {F}}$  are loc astfel încât momentul cinetic și viteza areolară sunt constante vectoriale,  $\forall t\geq t_{0}.$