Analiză dimensională

Analiza dimensională este un instrument de principiu folosit în fizică, chimie și tehnică la înțelegerea situațiilor care implică utilizarea combinată a mai multor mărimi fizice. Este un instrument uzual al oamenilor de știință și inginerilor pentru a verifica plauzibilitatea diferitelor tipuri de unități de măsură derivate, a consistenței ecuațiilor și a metodelor de calcul. Este folosită de asemenea pentru a face ipoteze pertinente asupra fenomenelor fizice care să fie verificate experimental sau prin teorii mai evoluate.

Metoda de lucru algebric cu dimensiuni

verificarea corectitudinii scrierii relațiilor fizice;
obține rezultate noi din considerente pur dimensionale;

Principiul omogenității

Orice relație fizică (între mărimi) trebuie să treacă într-o relație matematică între numere. Pentru acestea termenii unei relații trebuie să fie omogeni = să aibă aceaṣi dimensiune = echidimensionali

Teorema invarianței

Pentru ca o relație fizică să fie invariantă la schimbarea unității de măsură este necesar ca mărimile derivate să se exprime în funcție de mărimile fundamentale ca un produs de puteri.

Exemplu

Fie $f(m,v,E_{c})=0\,$ , o relație funcțională pentru energia cinetică a punctului material, unde: $m\,$ este masa, $v\,$ este viteza și $E_{c}\,$ este energia cinetică.

Mărimi fundamentale pentru $E_{c}\,$ : $m\,$ , $v\,$

Mărimea derivată: $E_{c}\,$ .

E_{c}=m^{r_{1}}v^{r_{2}}\,

[E_{c}]=ML^{2}T^{-2};\quad [m]=M;\quad [v]=LT^{-1}

ML^{2}T^{-2}={(M)}^{r_{1}}{(LT^{-1})}^{r_{2}}

deci $r_{1}=1;r_{2}=2\,$

\Rightarrow E_{c}=Ct\cdot mv^{2}

unde $Ct$ este o constantă.

Teorema Produselor

f(x_{1},\dots ,x_{i},y_{k+1},\dots ,y_{k+j},\dots ,y_{n})=0

f(\prod _{i=1}^{N}\dots \prod _{i=N-k}^{N})=0

unde $\prod _{i=N-k}^{N}$ - complexe adimensionale; k-rangul matricii dimensionale

x_{1}\dots x_{i}\dots x_{k}\dots x_{n}

[x_{i}]=L^{\alpha i}M^{\beta i}\dots

{\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\dots &\cdots &\dots \end{bmatrix}}\!

${\begin{matrix}\prod _{a}\end{matrix}}={\frac {a}{\prod fundamentale}}$

Exemplu (Similitudine)

Acceleraṭia căderii libere a unui corp la suprafaṭa unui astru sferic omogen de rază R și masă m depinde de: m, R, k unde k este constanta atracției universale. Dacă pentru un astru cu raza R ṣi masa m corpurile cad liber cu accelerația g=10 m/s la pătrat, cu ce accelerație vor cădea corpurile la suprafața unui astru cu raza R'=R/2 și de masă m'=m/10? (Planeta Marte).