4-politop uniform

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Proiecție ortogonală a unui 120-celule trunchiat, în planul Coxeter H3 (simetrie D10). Sunt redate doar vârfurile și laturile.

În geometrie un 4-politop uniform este un politop cvadridimensional izogonal, ale cărui celule sunt poliedre uniforme iar fețele sale sunt poligoane regulate.

Au fost descrise patruzeci și șapte de politipuri uniforme convexe neprismatice, o mulțime finită de forme prismatice convexe și două mulțimi infinite de forme prismatice convexe. Există, de asemenea, un număr necunoscut de forme neconvexe stelate.

Istoria descoperirilor[modificare | modificare sursă]

4-politopurile regulate convexe

În 1852 Ludwig Schläfli a demonstrat în manuscrisul său, Theorie der vielfachen Kontinuität (în română Teoria continuității multiple) că există exact 6 4-politopuri regulate și doar câte 3 în 5 sau mai multe dimensiuni.

4-politopuri stelate regulate

Tot în 1852 Ludwig Schläfli a găsit 4 din cele 10 4-politopuri stelate regulate, fără a număra pe cele 6 cu celule sau figura vârfului {5/2,5} și {5,5/2}.

În 1883 Edmund Hess în cartea sa Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (în română Introducere în teoria divizării bilelor cu o considerație specială asupra aplicării sale la teoria poliedrelor izoedrice și izogonale) a completat lista celor 10 4-politopuri neconvexe regulate.[1]

4-politopurile semiregulate convexe

Politopurile semiregulate convexe au avut diferite definiții înainte de definirea categoriei uniforme de către Coxeter.

În 1900 Thorold Gosset în lucrarea sa On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions (în română Despre figurile regulate și semiregulate în spațiul cu n dimensiuni) a enumerat lista de politopuri convexe semiregulate neprismatice cu celule regulate (adică poliedre platonice).[2]

În 1910 Alicia Boole Stott, în lucrarea sa Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, (în {{ro|Deducerea geometrică a politopurilor semiregulate din cele regulate și cele care umplu spațiul”, a extins definiția, acceptând și celulele de forma poliedrelor arhimedice și cele prismatice. În urma acestei relaxări a enumerat 45 de 4-politopuri semiregulate.[3]

În 1911 Pieter Hendrik Schoute a publicat lucrarea Analytic treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes (în română Tratarea analitică a politopurilor derivate regulat din politopurile regulate), urmat de Boole-Stott, care a notat și enumerat politopurile uniforme convexe în funcție de simetrie, bazat pe 5-celule, 8-celule/16-celule și 24-celule.

În 1912 E. L. Elte a extins independent lista lui Gosset în lucrarea The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces (în română Politopurile semiregulate din hiperspații, politopuri cu unul sau două tipuri de fațete semiregulate.[4]

4-politopurile uniforme convexe

În 1940 căutarea a fost extinsă sistematic de H.S.M. Coxeter în lucrarea sa Regular and Semi-Regular Polytopes (în română Politopuri regulate și semiregulate)

În 1965 John Horton Conway și Michael Guy au publicat în lucrarea lor Four-Dimensional Archimedean Polytopes (în română Politopuri arhimedice cvadridimensionale) lista completă a politopurilor convexe, stabilită prin analiză pe calculator, având și un 4-politop convex newythoffian, larga antiprismă.

În 1966 Norman Johnson în teza sa de doctorat The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs (în română Teoria politopurilor și fagurilor uniformi) elaborată sub conducerea lui Coxeter a completat teoria de bază a politopurilor uniforme din dimensiunile 4 și superioare.

În1986 Coxeter a publicat articolul Regular and Semi-Regular Polytopes II care cuprinde analiza structurii unice a24-celule snub și a simetriei anormalei largi antiprisme.

În 2004 Marco Möller în teza sa de doctorat Vierdimensionale Archimedische Polytope (în română Politopuri arhimedice cvadridimesnionale a dat o demonstrație că setul Conway–Guy este complet.[5]

În 2008 Conway în The Symmetries of Things (în română Simetriile lucrurilor)[6] a publicat prima listă tipărită a 4-politopurilor uniforme convexe și a politopurilor din dimensiuni superioare din familia grupului Coxeter, cu diagrame generale ale figurilor vârfurilor pentru fiecare permutare inelată din diagramele Coxeter — snub, larga antiprismă și duoprisme — pe care le-a numit proprisme pentru prismele produsului. El și-a folosit propria schemă de denumire ijk-ambo pentru permutările inelului indexat dincolo de trunchiere și bitrunchiere, iar toate numele lui Johnson au fost incluse în indexul cărții.

4-politopurile stelate uniforme neregulate

Până în 2005, într-o cercetare în colaborare, Jonathan Bowers și George Olshevsky au identificat 1845 de 4-politopuri uniforme (convexe și neconvexe),[7] iar în 2006 au mai identificat 4.[8]

4-politopuri regulate[modificare | modificare sursă]

4-politopurile regulate sunt un subset al 4-politopurilor uniforme, care îndeplinesc cerințe suplimentare. 4-politopurile regulate sunt descrise de simbolurile Schläfli {p,q,r}, au celule de tipul {p,q}, fețe de tipul {p}, laturi de tipul {r}, și figuri ale vârfului de tipul {q,r}.

Existența unui 4-politop regulat {p,q,r} este condiționată de existența poliedrelor regulate {p,q}, care va fi celulele și {q,r} care va fi figura vârfului.

Existența unui 4-politop finit este condiționată de inegalitatea:[9]

Cele 16 4-politopuri regulate, având proprietatea că toate celulele, fețele, laturile și vârfurile sunt congruente sunt:

4-politopuri uniforme convexe[modificare | modificare sursă]

Simetria 4-politopurilor uniforme în patru dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Subgrupuri ortogonale
Cele 16 oglinzi ale B4 pot fi descompuse în două grupuri ortogonale, 4A1 și D4:
  1. CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 3g.pngCDel node g.png = CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel nodeab c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png (4 oglinzi)
  2. CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.png = CDel nodeab c2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.png (12 oglinzi)
Cele 24 oglinzi ale F4 pot fi descompuse în două grupuri ortogonale, D4:
  1. CDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 4.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.png = CDel node c3.pngCDel branch3 c3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node c4.png (12 oglinzi)
  2. CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.png = CDel node c1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 c2.pngCDel node c2.png (12 oglinzi)
Cele 10 oglinzi ale B3×A1 pot fi descompuse în grupurile ortogonale 4A1 și D3:
  1. CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node g.pngCDel 3sg.pngCDel node g.pngCDel 2.pngCDel node c4.png = CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel nodeab c1.pngCDel 2.pngCDel node c4.png (3+1 oglinzi)
  2. CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 2.pngCDel node h0.png = CDel nodeab c2.pngCDel split2.pngCDel node c3.png (6 oglinzi)

Există 5 familii fundamentale de grupuri punctuale de simetrii în oglindă în 4-dimensiuni: A4 = CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, B4 = CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, D4 = CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, F4 = CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, H4 = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.[10] Există și 3 grupuri prismatice: A3A1 = CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png, B3A1 = CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png, H3A1 = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png și grupurile duoprismatice: I2(p)×I2(q) = CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png. Fiecare grup este definit pe domeniul fundamental al unui tetraedru Goursat delimitat de plane de reflexie.

Orice 4-politop uniform construit prin reflexii face parte dintr-unul sau mai multe grupuri punctuale de reflexii în 4 dimensiuni printr-o construcție Wythoff, caracterizată de inele în jurul permutărilor nodurilor într-o diagramă Coxeter. Hiperplanele oglinzilor pot fi grupate folosind noduri colorate separate prin ramuri pare. Grupurile de simetrie de forma [a,b,a], au o simetrie extinsă, [[a,b,a]], dublând ordinul de simetrie. Acestea includ [3,3,3], [3,4,3] și [p,2,p]. Politopurile uniforme din acest grup cu inele simetrice conțin această simetrie extinsă.

Dacă într-un politop uniform dat toate oglinzile de o anumită culoare sunt neinelate (inactive), acesta va avea un ordin de simetrie mai mic prin eliminarea tuturor oglinzilor inactive. Dacă toate nodurile unei anumite culori sunt inelate (active), operatorul alternare poate genera un nou 4-politop cu simetrie chirală, prezentat ca „noduri goale încercuite”, dar geometria nu este întotdeauna susceptibilă de a crea soluții uniforme.

Grup
Weyl
Cuaternion
Conway
Structură
abstractă
Ordin Diagramă
Coxeter
Notație
Coxeter
Subgrup
comutator
Număr
Coxeter
(h)
Oglinzi
m=2h
Ireductibile
A4 +1/60[I×I].21 S5 120 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png [3,3,3] [3,3,3]+ 5 10CDel node c1.png
D4 ±1/3[T×T].2 1/2.2S4 192 CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png [31,1,1] [31,1,1]+ 6 12CDel node c1.png
B4 ±1/6[O×O].2 2S4 = S2≀S4 384 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png [4,3,3] 8 4CDel node c2.png 12CDel node c1.png
F4 ±1/2[O×O].23 3.2S4 1152 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png [3,4,3] [3+,4,3+] 12 12CDel node c2.png 12CDel node c1.png
H4 ±[I×I].2 2.(A5×A5).2 14400 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node c1.pngCDel 5.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png [5,3,3] [5,3,3]+ 30 60CDel node c1.png
Grupuri prismatice
A3A1 +1/24[O×O].23 S4×D1 48 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.png [3,3,2] = [3,3]×[ ] [3,3]+ - 6CDel node c1.png 1CDel node c3.png
B3A1 ±1/24[O×O].2 S4×D1 96 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.png [4,3,2] = [4,3]×[ ] - 3CDel node c2.png 6CDel node c1.png 1CDel node c3.png
H3A1 ±1/60[I×I].2 A5×D1 240 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node c1.pngCDel 5.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.png [5,3,2] = [5,3]×[ ] [5,3]+ - 15CDel node c1.png 1CDel node c3.png
Grupuri duoprismatice (Use 2p,2q pentru întregi pari)
I2(p)I2(q) ±1/2[D2p×D2q] Dp×Dq 4pq CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node c1.pngCDel p.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.pngCDel q.pngCDel node c3.png [p,2,q] = [p]×[q] [p+,2,q+] - p CDel node c1.png q CDel node c3.png
I2(2p)I2(q) ±1/2[D4p×D2q] D2p×Dq 8pq CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node c2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.pngCDel q.pngCDel node c3.png [2p,2,q] = [2p]×[q] - p CDel node c2.png p CDel node c1.png q CDel node c3.png
I2(2p)I2(2q) ±1/2[D4p×D4q] D2p×D2q 16pq CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node c2.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node c4.png [2p,2,2q] = [2p]×[2q] - p CDel node c2.png p CDel node c1.png q CDel node c3.png q CDel node c4.png

Enumerare[modificare | modificare sursă]

Există 64 de politopuri uniforme convexe, inclusiv cele 6 politopuri convexei regulate, excluzând mulțimile infinite ale duoprismelor și ale prismelor antiprismatice.

  • 5 sunt prisme poliedrice bazate pe poliedrele platonice s (1 se suprapune cu cele regulate, deoarece o hiperprismă cubică este un tesseract)
  • 13 sunt prisme poliedrice bazate pe poliedrele arhimedice
  • 9 sunt în familia grupului autodual regulat A4 [3,3,3] din familia 5-celule
  • 9 sunt în grupul autodual regulat F4 [3,4,3] din familia 24-celule (fără 24-celule snub)
  • 15 sunt în grupul regulat B4 [3,3,4] din familia tesseract/16-celule (3 se suprapun cu camilia 24-celule)
  • 15 sunt în grupul regulat H4 [3,3,5] din familia 120-celule/600-celule.
  • 1 caz particular snub din grupul [3,4,3] din familia 24-celule.
  • 1 caz particular newythoffian, larga antiprismă.

TOTAL: 68 − 4 = 64

Aceste 64 de politopuri uniforme sunt enumerate mai jos de George Olshevsky. Formele de simetrie repetate sunt indicate între paranteze.

În plus față de cele 64 de mai sus există 2 mulțimi prismatice infinite care generează toate formele convexe rămase:

  • Mulțimea hiperprismelor antiprismatice uniforme — sr{p,2}×{ } — prisme poliedrice de două antiprisme.
  • Mulțimea duoprismelor uniforme — {p}×{q} — produsul cartezian al două poligoane.

Familia A4[modificare | modificare sursă]

5-celule are simetrie 4-simplectică [3,3,3],[10] de ordinul 120, izomorfă cu permutările a cinci elemente, deoarece toate perechile de vârfuri sunt legate în același mod.

Fațetele (celulele) sunt date, grupate în pozițiile lor din diagrama Coxeter, prin eliminarea nodurilor specificate.

Politopuri uniforme [3,3,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(5)
Poz. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
(10)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(10)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(5)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
1 5-celule[10] 5-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3,3}
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
5 10 10 5
2 5-celule rectificat Rectified 5-cell verf.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
r{3,3,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
(2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
10 30 30 10
3 5-celule trunchiat Truncated 5-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t{3,3,3}
(3)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
10 30 40 20
4 5-celule cantelat Cantellated 5-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
rr{3,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-33-t02.png
(3.4.3.4)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3.3.3)
20 80 90 30
7 5-celule cantitrunchiat Cantitruncated 5-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
tr{3,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
20 80 120 60
8 5-celule runcitrunchiat Runcitruncated 5-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
(2)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t02.png
(3.4.3.4)
30 120 150 60
Politopuri uniforme [[3,3,3]]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3-0
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(10)
Poz. 1-2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
(20)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
5 *5-celule runcinat Runcinated 5-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(6)
Triangular prism.png
(3.4.4)
30 70 60 20
6 *5-celule bitrunchiat Bitruncated 5-cell verf.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2t{3,3,3}
(4)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
10 40 60 30
9 *5-celule omnitrunchiat Omnitruncated 5-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
(2)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
30 150 240 120
Neuniform 5-celule omnisnub[11] Snub 5-cell verf.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
ht0,1,2,3{3,3,3}
Uniform polyhedron-33-s012.png (2)
(3.3.3.3.3)
Trigonal antiprism.png (2)
(3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-t0.png (4)
(3.3.3)
90 300 270 60

Cele trei forme de 4-politopuri uniforme marcate cu un asterisc, *, au cea mai mare simetrie 4-tetraedrică extinsă, de ordinul 240, [[3,3,3]] deoarece elementul corespunzător oricărui element al 5-celulei de bază poate fi schimbat cu unul dintre cele corespunzătoare unui element al dualului său. Există un mic subgrup indice [3,3,3]+, de ordin 60, sau dublul acestuia [[3,3,3]]+, de ordin 120, definind un 5 celule omnisnub care este listat pentru completare, dar nu este uniform.

Familia B4[modificare | modificare sursă]

Această familie are simetrie 4-ortoplectică [4,3,3],[10] de ordinul 24 × 16 = 384: 4! = 24 permutări ale celor 4 axe, respectiv 24 = 16 reflexii față de fiecare axă. Există 3 mici subgrupuri indice, dintre care primele două generează 4-politopuri uniforme care se repetă și în alte familii, [1+,4,3,3], [4,(3,3)+] și [4,3,3]+, toate de ordinul 192.

Trunchieri ale tesseractului[modificare | modificare sursă]

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(8)
Poz. 2
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n3.png
(24)
Poz. 1
CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(32)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(16)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
10 tesseract
sau 8-celule
8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3,3}
(4)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
8 24 32 16
11 Tesseract rectificat Rectified 8-cell verf.png

CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
r{4,3,3}

(3)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
(2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
24 88 96 32
13 Tesseract trunchiat Truncated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t{4,3,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-t01.png
(3.8.8)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
24 88 128 64
14 Tesseract cantelat Cantellated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
rr{4,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
56 248 288 96
15 Tesseract runcinat
(și 16-celule runcinat)
Runcinated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{4,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
(3)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
(3)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
80 208 192 64
16 Tesseract bitrunchiat
(și 16-celule bitrunchiat)
Bitruncated 8-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2t{4,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
(2)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
24 120 192 96
18 Tesseract cantitrunchiat Cantitruncated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
tr{4,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
56 248 384 192
19 Tesseract runcitrunchiat Runcitruncated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{4,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-t01.png
(3.8.8)
(2)
Octagonal prism.png
(4.4.8)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
80 368 480 192
21 Tesseract omnitrunchiat
(și 16-celule omnitrunchiat)
Omnitruncated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
(1)
Octagonal prism.png
(4.4.8)
(1)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
80 464 768 384
4-politopuri uniforme asociate cu semitesseractul, [1+,4,3,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(8)
Poz. 2
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n3.png
(24)
Poz. 1
CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(32)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(16)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
12 Semitesseract
16-celule
16-cell verf.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
h{4,3,3}={3,3,4}
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
16 32 24 8
[17] Tesseract cantic
(sau 16-celule trunchiat)
Truncated demitesseract verf.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
h2{4,3,3}=t{4,3,3}
(4)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(6.6.3)
(1)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
24 96 120 48
[11] Tesseract runcic
(sau tesseract rectificat)
Cantellated demitesseract verf.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
h3{4,3,3}=r{4,3,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
(2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
24 88 96 32
[16] Tesseract runcicantic
(sau tesseract bitrunchiat)
Cantitruncated demitesseract verf.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
h2,3{4,3,3}=2t{4,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(3.4.3.4)
(2)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
24 120 192 96
[11] (Tesseract rectificat) Cantellated demitesseract verf.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
h1{4,3,3}=r{4,3,3}
24 88 96 32
[16] (Tesseract bitrunchiat) Cantitruncated demitesseract verf.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
h1,2{4,3,3}=2t{4,3,3}
24 120 192 96
[23] (24-celule rectificat) Runcicantellated demitesseract verf.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
h1,3{4,3,3}=rr{3,3,4}
48 240 288 96
[24] (24-celule trunchiat) Omnitruncated demitesseract verf.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
h1,2,3{4,3,3}=tr{3,3,4}
48 240 384 192
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(8)
Poz. 2
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n3.png
(24)
Poz. 1
CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(32)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(16)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
Neuniform Tesseract omnisnub[12]
(sau 16-celule omnisnub)
Snub tesseract verf.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
ht0,1,2,3{4,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-s012.png
(3.3.3.3.4)
(1)
Square antiprism.png
(3.3.3.4)
(1)
Trigonal antiprism.png
(3.3.3.3)
(1)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(3.3.3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
272 944 864 192

Trunchieri ale 16-celulei[modificare | modificare sursă]

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(8)
Poz. 2
CDel node n0.pngCDel 4.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n3.png
(24)
Poz. 1
CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(32)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(16)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
[12] 16-celule[10] 16-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,4}
(8)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
16 32 24 8
[22] *16-celule rectificat
(același cu 24-celule)
Rectified 16-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
r{3,3,4}
(2)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
24 96 96 24
17 16-celule trunchiat Truncated 16-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
24 96 120 48
[23] *16-celule cantelat
(același cu 24-celule rectificat)
Cantellated 16-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
rr{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
(2)
Tetragonal prism.png
(4.4.4)
(2)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
48 240 288 96
[15] 16-celule runcinat
(și 8-celule runcinat)
Runcinated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
(3)
Tetragonal prism.png
(4.4.4)
(3)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
80 208 192 64
[16] 16-celule bitrunchiat
(și 8-celule bitrunchiat)
Bitruncated 8-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2t{3,3,4}
(2)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
(2)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
24 120 192 96
[24] *16-celule cantitrunchiat
(același cu 24-celule trunchiat)
Cantitruncated 16-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
tr{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
(1)
Tetragonal prism.png
(4.4.4)
(2)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
48 240 384 192
20 16-celule runcitrunchiat Runcitruncated 16-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
(1)
Tetragonal prism.png
(4.4.4)
(2)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
80 368 480 192
[21] 16-celule omnitrunchiat
(și 8-celule omnitrunchiat)
Omnitruncated 8-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
(1)
Octagonal prism.png
(4.4.8)
(1)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
80 464 768 384
[31] 16-celule cantitrunchiat alternat
(același cu 24-celule snub)
Snub 24-cell verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{3,3,4}
(1)
Uniform polyhedron-43-h01.svg
(3.3.3.3.3)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(2)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(3.3.3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
144 480 432 96
Neuniform 16-celule rectificat runcic snub Runcic snub rectified 16-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr3{3,3,4}
(1)
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
(3.4.4.4)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Tetragonal prism.png
(4.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(3.3.3.3.3)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
176 656 672 192
(*) Așa cum rectificarea tetraedrului produce octaedrul, rectificarea 16-celulei produce 24-celule, membru regulat al familiei următoare.

24-celule snub este repetat în această familie pentru completitudine. Este o alternare a 16-celule cantitrunchiat sau 24-celule trunchiat, cu grupul jumătății de simetrie [(3,3)+,4]. Celulele octaedrice trunchiate devin icosaedre. Cuburile devin tetraedre, iar 96 de tetraedre noi sunt create în golurile lăsate de vârfurile eliminate.

Familia F4[modificare | modificare sursă]

Acestă familie are simetrie octaplectică,[10] [3,4,3], de ordinul 24 × 48 = 1152: cele 48 de simetrii ale octaedrului pentru fiecare din cele 24 de celule. Există 3 mici subgrupuri indice, dintre care primele două generează 4-politopuri uniforme care se repetă și în alte familii, [3+,4,3], [3,4,3+] și [3,4,3]+, toate de ordinul 576.

4-politopuri uniforme [3,4,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(24)
Poz. 2
CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n3.png
(96)
Poz. 1
CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(96)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(24)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
22 24-celule[10]
(același cu 16-celule rectificat)
24 cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,4,3}
(6)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
24 96 96 24
23 24-celule rectificat
(același cu 16-celule cantelat)
Rectified 24-cell verf.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
r{3,4,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
(2)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
48 240 288 96
24 24-celule trunchiat
(același cu 16-celule cantitrunchiat)
Truncated 24-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t{3,4,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
(1)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
48 240 384 192
25 24-celule cantelat Cantellated 24-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
rr{3,4,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
144 720 864 288
28 24-celule cantitrunchiat Cantitruncated 24-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
tr{3,4,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t01.png
(3.8.8)
144 720 1152 576
29 24-celule runcitrunchiat Runcitruncated 24-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,4,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
(2)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
240 1104 1440 576
4-politopuri uniforme [3+,4,3]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 2.pngCDel 2.png
(24)
Poz. 2
CDel node n0.pngCDel 3.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n3.png
(96)
Poz. 1
CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(96)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n1.pngCDel 4.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(24)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
31 24-celule snub Snub 24-cell verf.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
s{3,4,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-h01.svg
(3.3.3.3.3)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
144 480 432 96
Neuniform 24-celule snub runcic Runcic snub 24-cell verf.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
s3{3,4,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-h01.svg
(3.3.3.3.3)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
(3)
Triangular cupola.png
Tricup
240 960 1008 288
[25] 24-celule snub cantic
(același cu 24-celule cantelat)
Cantic snub 24-cell verf.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
s2{3,4,3}
(2)
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
(3.4.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
144 720 864 288
[29] 24-celule snub runcicantic
(același cu 24-celule runcitrunchiat)
Runcicantic snub 24-cell verf.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
s2,3{3,4,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
(3.4.4.4)
(2)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
240 1104 1440 576
(†) Aici 24-celule snub, în ciuda numelui său comun, nu este analog cu cubul snub; mai degrabă, este derivat de o alternare a 24-celule trunchiat. Ordinul său de simetrie este de numai 576, (grupul [3+,4,3]).

Ca și 5-celule, 24-celule este autodual, astfel că următoarele trei forme au de două ori mai multe simetrii, în total 2304 ([[3,4,3]]).

4-politopuri uniforme [[3,4,3]]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Nr. celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3-0
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.png
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(48)
Poz. 2-1
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(192)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
26 24-celule runcinat Runcinated 24-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,4,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
(6)
Triangular prism.png
(3.4.4)
240 672 576 144
27 24-celule bitrunchiat Bitruncated 24-cell verf.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2t{3,4,3}
(4)
Uniform polyhedron-43-t01.png
(3.8.8)
48 336 576 288
30 24-celule omnitrunchiat Omnitruncated 24-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,4,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
(2)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
240 1392 2304 1152
4-politopuri izogonale [[3,4,3]]+
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3-0
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.png
CDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(48)
Poz. 2-1
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(192)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
Neuniform 24-celule omnisnub[13] Full snub 24-cell verf.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
ht0,1,2,3{3,4,3}
(2)
Uniform polyhedron-43-s012.png
(3.3.3.3.4)
(2)
Trigonal antiprism.png
(3.3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
816 2832 2592 576

Familia H4[modificare | modificare sursă]

Această familie are simetrie dodecaplectică,[10] [5,3,3], de ordinul 120 × 120 = 24 × 600 = 14400: 120 pentru fiecare din cele 120 de dodecaedre, sau 24 pentru fiecare din cele 600 de tetraedre. Există un mic subgrup indice, [5,3,3]+, toate de ordinul 7200.

Trunchieri ale 120-celulei[modificare | modificare sursă]

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node n0.pngCDel 5.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 2.png
(120)
Poz. 2
CDel node n0.pngCDel 5.pngCDel node n1.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n3.png
(720)
Poz. 1
CDel node n0.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(1200)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node n1.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
(600)
Alt Celule Fețe Laturi Vârfuri
32 120-celule[10] 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3,3}
(4)
Uniform polyhedron-53-t0.png
(5.5.5)
120 720 1200 600
33 120-celule rectificat Rectified 120-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
r{5,3,3}
(3)
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5.3.5)
(2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
720 3120 3600 1200
36 120-celule trunchiat Truncated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t{5,3,3}
(3)
Uniform polyhedron-53-t01.png
(3.10.10)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
720 3120 4800 2400
37 120-celule cantelat Cantellated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
rr{5,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-53-t02.png
(3.4.5.4)
(2)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
1920 9120 10800 3600
38 120-celule runcinat
(și 600-celule runcinat)
Runcinated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{5,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-53-t0.png
(5.5.5)
(3)
Pentagonal prism.png
(4.4.5)
(3)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
39 120-celule bitrunchiat
(și 600-celule bitrunchiat)
Bitruncated 120-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2t{5,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-53-t12.png
(5.6.6)
(2)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
720 4320 7200 3600
42 120-celule cantitrunchiat Cantitruncated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
tr{5,3,3}
(2)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
1920 9120 14400 7200
43 120-celule runcitrunchiat Runcitruncated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{5,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-53-t01.png
(3.10.10)
(2)
Decagonal prism.png
(4.4.10)
(1)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
2640 13440 18000 7200
46 120-celule omnitrunchiat
(și 600-celule omnitrunchiat)
Omnitruncated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{5,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
(1)
Decagonal prism.png
(4.4.10)
(1)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
2640 17040 28800 14400
Neuniform 120-celule omnisnub[14]
(același cu 600-celule omnisnub)
Snub 120-cell verf.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
ht0,1,2,3{5,3,3}
Uniform polyhedron-53-s012.png (1)
(3.3.3.3.5)
Pentagonal antiprism.png (1)
(3.3.3.5)
Trigonal antiprism.png (1)
(3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-s012.png (1)
(3.3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-t0.png (4)
(3.3.3)
9840 35040 32400 7200

Trunchieri ale 600-celulei[modificare | modificare sursă]

Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Simetrie Numărul. celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 3
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(120)
Poz. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
(720)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(1200)
Poz. 0
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(600)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
35 600-celule[10] 600-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,5}
[5,3,3]
ordin 14400
(20)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
600 1200 720 120
[47] 600-celule 20-diminuat
(larga antiprismă)
Grand antiprism verf.png Construcție
newythoffiană
[[10,2+,10]]
ordin 400
indice 36
(2)
Pentagonal antiprism.png
(3.3.3.5)
(12)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
320 720 500 100
[31] 600-celule 24-diminuat
(24-celule snub)
Snub 24-cell verf.png Construcție
newythoffiană
[3+,4,3]
order 576
index 25
(3)
Uniform polyhedron-53-t2.png
(3.3.3.3.3)
(5)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
144 480 432 96
Nonuniform 600-celule bi-24-diminuat Biicositetradiminished 600-cell vertex figure.png Construcție
newythoffiană
ordin 144
index 100
(6)
Tridiminished icosahedron.png
tdi
48 192 216 72
34 600-celule rectificat Rectified 600-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
r{3,3,5}
[5,3,3] (2)
Uniform polyhedron-53-t2.png
(3.3.3.3.3)
(5)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
720 3600 3600 720
Neuniform 600-celule rectificat 120-diminuat Spidrox-vertex figure.png Construcție
newythoffiană
ordin 1200
index 12
(2)
Pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
(2)
Pentagonal prism.png
4.4.5
(5)
Square pyramid.png
P4
840 2640 2400 600
41 600-celule trunchiat Truncated 600-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t{3,3,5}
[5,3,3] (1)
Uniform polyhedron-53-t2.png
(3.3.3.3.3)
(5)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
720 3600 4320 1440
40 600-celule cantelat Cantellated 600-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
rr{3,3,5}
[5,3,3] (1)
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5.3.5)
(2)
Pentagonal prism.png
(4.4.5)
(1)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
1440 8640 10800 3600
[38] 600-celule runcinat
(și 120-celule runcinat)
Runcinated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,3{3,3,5}
[5,3,3] (1)
Uniform polyhedron-53-t0.png
(5.5.5)
(3)
Pentagonal prism.png
(4.4.5)
(3)
Triangular prism.png
(3.4.4)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
2640 7440 7200 2400
[39] 600-celule bitrunchiat
(și 120-celule bitrunchiat)
Bitruncated 120-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
2t{3,3,5}
[5,3,3] (2)
Uniform polyhedron-53-t12.png
(5.6.6)
(2)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
720 4320 7200 3600
45 600-celule cantitrunchiat Cantitruncated 600-cell verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
tr{3,3,5}
[5,3,3] (1)
30px
(5.6.6)
(1)
Pentagonal prism.png
(4.4.5)
(2)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
1440 8640 14400 7200
44 600-celule runcitrunchiat Runcitruncated 600-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,3{3,3,5}
[5,3,3] (1)
Uniform polyhedron-53-t02.png
(3.4.5.4)
(1)
Pentagonal prism.png
(4.4.5)
(2)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
2640 13440 18000 7200
[46] 600-celule omnitrunchiat
(și 120-celule omnitrunchiat)
Omnitruncated 120-cell verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2,3{3,3,5}
[5,3,3] (1)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
(1)
Decagonal prism.png
(4.4.10)
(1)
Hexagonal prism.png
(4.4.6)
(1)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
2640 17040 28800 14400

Familia D4[modificare | modificare sursă]

Familia semitesseractelor, [31,1,1], nu produce noi 4-politopuri uniforme, ci repetă unele construcții alternative. Familia are simetrii de ordinul 12 × 16 = 192: 4!/2 = 12 permutatări ale celor patru axe, alternate la jumătate, 24 = 16 de reflexii față de fiecare axă. Există un mic subgrup indice care formează 4-politopuri, [31,1,1]+, de ordinul 96.

4-politopuri uniforme [31,1,1]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
CD B4 nodes.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node n2.pngCDel 3.pngCDel node n3.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 0
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(8)
Poz. 2
CDel nodes.pngCDel 2.pngCDel node.png
(24)
Poz. 1
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
(8)
Poz. 3
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(8)
Poz. alt

(96)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[12] Semitesseract
(același cu
16-celule)
16-cell verf.png CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
h{4,3,3}
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
16 32 24 8
[17] tesseract cantic
(același cu
16-celule trunchiat)
Truncated demitesseract verf.png CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
h2{4,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
(2)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
(2)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
24 96 120 48
[11] tesseract runcic
(același cu
tesseract rectificat)
Cantellated demitesseract verf.png CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
h3{4,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(3)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
24 88 96 32
[16] tesseract runcicantic
(același cu
tesseract bitrunchiat)
Cantitruncated demitesseract verf.png CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
h2,3{4,3,3}
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
(1)
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
(2)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
24 96 96 24

Când nodurile celor 3 ramuri bifurcate sunt inelate identic, simetria poate fi mărită cu 6, ca [3[31,1,1]] = [3,4,3], astfel aceste politopuri sunt repetări din familia 24-celule.

4-politopuri uniforme [3[31,1,1]]
Nr. Nume Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.png = CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
CDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node c2.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 c1.pngCDel node c1.png
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor
Poz. 0,1,3
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(24)
Poz. 2
CDel nodes.pngCDel 2.pngCDel node.png
(24)
Poz. alt

(96)
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[22] 16-celule rectificat
(același cu
24-celule)
Rectified demitesseract verf.png CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png
{31,1,1} = r{3,3,4} = {3,4,3}
(6)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(3.3.3.3)
48 240 288 96
[23] 16-celule cantelat
(același cu
24-celule rectificat)
Runcicantellated demitesseract verf.png CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png
r{31,1,1} = rr{3,3,4} = r{3,4,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
(2)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
24 120 192 96
[24] 16-celule cantitrunchiat
(același cu
24-celule trunchiat)
Omnitruncated demitesseract verf.png CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png
t{31,1,1} = tr{3,3,4} = t{3,4,3}
(3)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
(1)
Uniform polyhedron-43-t0.png
(4.4.4)
48 240 384 192
[31] 24-celule snub Snub 24-cell verf.png CDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png = CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png = CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node h.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 hh.pngCDel node h.png
s{31,1,1} = sr{3,3,4} = s{3,4,3}
(3)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(3.3.3.3.3)
(1)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
(4)
Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
144 480 432 96

Și aici, 24-celule snub, cu grupul de simetrie [31,1,1]+, reprezintă o trunchiere alternată a 24-celule trunchiat, cu 96 de noi tetraedre în pozițiile vârfurilor șterse. Spre deosebire de apariția sa în celelalte grupuri, ca 4-politop parțial snub, numai în cadrul acestui grup de simetrie este complet analog cu snuburile Kepler, adică cubul snub și dodecaedrul snub.

Larga antiprismă[modificare | modificare sursă]

Larga antiprismă este un 4-politop convex uniform newythoffian format din 20 de antiprisme pentagonale care formează două inele perpendiculare unite prin 300 de tetraedrue. Este întrucâtva analog antiprismelor tridimensionale, care constau din două poligoane paralele unite de o bandă de triunghiuri. Însă, spre deosebire de ele, larga antiprismă nu este membrul unei familii infinite de politopuri uniforme.

Simetria sa este grupul Coxeter diminuat ionic, [[10,2+,10]], de ordinul 400.

Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Cells by type Element counts Net
Celule Fețe Laturi Vârfuri
47 Larga antiprismă Grand antiprism.png Grand antiprism verf.png Fără simbol 300 Uniform polyhedron-33-t0.png
(3.3.3)
20 Pentagonal antiprism.png
(3.3.3.5)
320 20 {5}
700 {3}
500 100 Pentagonal double antiprismoid net.png

4-politopuri prismatice uniforme[modificare | modificare sursă]

Un politop prismatic este un produs cartezian din două politopuri din dimensiuni inferioare; exemple familiare sunt [[prismă (geometrie) |prismele] tridimensionale, care sunt produse ale unui poligon și ale unui segment de dreaptă. 4-politopurile uniforme prismatice constau din două familii infinite:

  • "Prisme poliedrice": produsul unui segment de dreaptă și a unui poliedru uniform. Această familie este infinită deoarece include prismele și antiprismele tridimensionale.
  • Duoprisme: produsul a două poligoane.

Prisme poliedrice convexe[modificare | modificare sursă]

O familie evidentă de 4-politopuri prismatice este prismele poliedrice, adică produsul unui poliedru cu un segment de dreaptă. Celulele unui astfel de 4-politop sunt două poliedre uniforme identice situate în hiperplane paralele (celulele de bază) și un strat de prisme care le unesc (celulele laterale). Această familie conține prisme pentru cele 75 de poliedre uniforme neprismatice (din care 18 sunt convexe; dintre acestea, una, prisma cub, este prezentată mai sus ca teseract).

Există 18 prisme poliedrice convexe create din cele 5 poliedre platonice și cele 13 poliedre arhimedice, precum și pentru familiile infinite de prisme și antiprisme tridimensionale. Ordinul de simetrie al unei prisme poliedrice este de două ori mai mare decât cel al poliedrului de bază.

Prisme tetraedrice: A3 × A1[modificare | modificare sursă]

Acestea au simetrie tetraedrică prismatică [3,3,2], de ordinul 48. Există două subgrupuri indice, [(3,3)+,2] și [3,3,2]+, dar al doilea nu produce 4-politopuri uniforme.

4-politopuri uniforme [3,3,2]
Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
rowspan=2 colspan=3 Nr. celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
48 Prismă tetraedrică Tetrahedral prism.png Tetrahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{3,3}×{ }
t0,3{3,3,2}
2 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
4 Triangular prism.png
3.4.4
6 8 {3}
6 {4}
16 8 Tetrahedron prism net.png
49 Prismă tetraedrică trunchiată Truncated tetrahedral prism.png Truncated tetrahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{3,3}×{ }
t0,1,3{3,3,2}
2 Uniform polyhedron-33-t01.png
3.6.6
4 Triangular prism.png
3.4.4
4 Hexagonal prism.png
4.4.6
10 8 {3}
18 {4}
8 {6}
48 24 Truncated tetrahedral prism net.png
4-politopuri uniforme [[3,3],2]</nowiki>
Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
rowspan=2 colspan=3 Nr. celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[51] Prismă tetraedrică rectificată
(același cu prismă octaedrică)
Octahedral prism.png Tetratetrahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
r{3,3}×{ }
t1,3{3,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t2.png
3.3.3.3
4 Triangular prism.png
3.4.4
6 16 {3}
12 {4}
30 12 Octahedron prism net.png
[50] Prismă tetraedrică cantelată
(același cu prismă cuboctaedrică)
Cuboctahedral prism.png Cuboctahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
rr{3,3}×{ }
t0,2,3{3,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t1.png
3.4.3.4
8 Triangular prism.png
3.4.4
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24 Cuboctahedral prism net.png
[54] Prismă tetraedrică cantitrunchiată
(același cu prismă octaedrică trunchiată)
Truncated octahedral prism.png Truncated octahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
tr{3,3}×{ }
t0,1,2,3{3,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t12.png
4.6.6
8 Hexagonal prism.png
6.4.4
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
16 48 {4}
16 {6}
96 48 Truncated octahedral prism net.png
[59] Prismă tetraedrică snub
(același cu prismă icosaedrică)
Icosahedral prism.png Snub tetrahedral prism verf.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
sr{3,3}×{ }
2 Uniform polyhedron-53-t2.png
3.3.3.3.3
20 Triangular prism.png
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24 Icosahedral prism net.png
Neuniform Antiprismă tetraedrică omnisnub Snub 332 verf.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
2 Uniform polyhedron-33-s012.png
3.3.3.3.3
8 Trigonal antiprism.png
3.3.3.3
6+24 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
40 16+96 {3} 96 24

Prisme octaedrice: B3 × A1[modificare | modificare sursă]

Acestea au simetrie octaedrică prismatică [4,3,2], de ordinul 96. Există 6 subgrupuri indice 2, de ordinul 48, care generează 4-politopurile alternate de mai jos. Simetriile, în notația Coxeter sunt [(4,3)+,2], [1+,4,3,2], [4,3,2+], [4,3+,2], [4,(3,2)+] și[4,3,2]+.

Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
[10] Prismă cubică
(același cu tesseract)
(același cu 4-4 duoprismă)
Schlegel wireframe 8-cell.png Cubic prism verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{4,3}×{ }
t0,3{4,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
8 24 {4} 32 16 8-cell net.png
50 Prismă cuboctaedrică
(același cu prismă tetraedrică cantelată)
Cuboctahedral prism.png Cuboctahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
r{4,3}×{ }
t1,3{4,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t1.png
3.4.3.4
8 Triangular prism.png
3.4.4
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24 Cuboctahedral prism net.png
51 prismă octaedrică
(același cu prismă tetraerică rectificată)
(același cu prismă antiprismatică tringhiulară)
Octahedral prism.png Tetratetrahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{3,4}×{ }
t2,3{4,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t2.png
3.3.3.3
8 Triangular prism.png
3.4.4
10 16 {3}
12 {4}
30 12 Octahedron prism net.png
52 Prismă rombicuboctaedrică Rhombicuboctahedral prism.png Rhombicuboctahedron prism verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
rr{4,3}×{ }
t0,2,3{4,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t02.png
3.4.4.4
8 Triangular prism.png
3.4.4
18 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
28 16 {3}
84 {4}
120 48 Small rhombicuboctahedral prism net.png
53 Prismă cubică trunchiată Truncated cubic prism.png Truncated cubic prism verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{4,3}×{ }
t0,1,3{4,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t01.png
3.8.8
8 Triangular prism.png
3.4.4
6 Octagonal prism.png
4.4.8
16 16 {3}
36 {4}
12 {8}
96 48 Truncated cubic prism net.png
54 Prismă octaedrică trunchiată
(același cu prismă tetraedrică cantitrunchiată)
Truncated octahedral prism.png Truncated octahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{3,4}×{ }
t1,2,3{4,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t12.png
4.6.6
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
8 Hexagonal prism.png
4.4.6
16 48 {4}
16 {6}
96 48 Truncated octahedral prism net.png
55 Prismă cuboctaedrică trunchiată Truncated cuboctahedral prism.png Truncated cuboctahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
tr{4,3}×{ }
t0,1,2,3{4,3,2}
2 Uniform polyhedron-43-t012.png
4.6.8
12 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
8 Hexagonal prism.png
4.4.6
6 Octagonal prism.png
4.4.8
28 96 {4}
16 {6}
12 {8}
192 96 Great rhombicuboctahedral prism net.png
56 Prismă cubică snub Snub cubic prism.png Snub cubic prism verf.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
sr{4,3}×{ }
2 Snub hexahedron.png
3.3.3.3.4
32 Triangular prism.png
3.4.4
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
40 64 {3}
72 {4}
144 48 Snub cuboctahedral prism net.png
[48] Prismă tetraedrică Tetrahedral prism.png Tetrahedral prism verf.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
h{4,3}×{ }
2 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
4 Triangular prism.png
3.4.4
6 8 {3}
6 {4}
16 8 Tetrahedron prism net.png
[49] Prismă tetraedrică trunchiată Truncated tetrahedral prism.png Truncated tetrahedral prism verf.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
h2{4,3}×{ }
2 Uniform polyhedron-33-t01.png
3.3.6
4 Triangular prism.png
3.4.4
4 Hexagonal prism.png
4.4.6
6 8 {3}
6 {4}
16 8 Truncated tetrahedral prism net.png
[50] Prismă cuboctaedrică Cuboctahedral prism.png Cuboctahedral prism verf.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
rr{3,3}×{ }
2 Uniform polyhedron-43-t1.png
3.4.3.4
8 Triangular prism.png
3.4.4
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
16 16 {3}
36 {4}
60 24 Cuboctahedral prism net.png
[52] Prismă rombicuboctaedrică Rhombicuboctahedral prism.png Rhombicuboctahedron prism verf.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
s2{3,4}×{ }
2 Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
3.4.4.4
8 Triangular prism.png
3.4.4
18 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
28 16 {3}
84 {4}
120 48 Small rhombicuboctahedral prism net.png
[54] Prismă octaedrică trunchiată Truncated octahedral prism.png Truncated octahedral prism verf.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
tr{3,3}×{ }
2 Uniform polyhedron-43-t12.png
4.6.6
6 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
8 Hexagonal prism.png
4.4.6
16 48 {4}
16 {6}
96 48 Truncated octahedral prism net.png
[59] Prismă icosaedrică Icosahedral prism.png Snub tetrahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
s{3,4}×{ }
2 Uniform polyhedron-53-t2.png
3.3.3.3.3
20 Triangular prism.png
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24 Icosahedral prism net.png
[12] 16-celule Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cell verf.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
s{2,4,3}
2+6+8 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3.3
16 32 {3} 24 8 16-cell net.png
Neuniform Antiprismă tetraedrică omnisnub Snub 332 verf.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,3,4}
2 Uniform polyhedron-53-t2.png
3.3.3.3.3
8 Trigonal antiprism.png
3.3.3.3
6+24 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
40 16+96 {3} 96 24
Neuniform Antiprismă cubică omnisnub Snub 432 verf.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
2 Snub hexahedron.png
3.3.3.3.4
12+48 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
8 Trigonal antiprism.png
3.3.3.3
6 Square antiprism.png
3.3.3.4
76 16+192 {3}
12 {4}
192 48
Neuniform 4-hosoedru cubic snub runcic Runcic snub cubic hosochoron.png Runcic snub 243 verf.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
s3{2,4,3}
2 Uniform polyhedron-33-t01.png
3.6.6
6 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
8 Triangular cupola.png
cupolă triunghiulară
16 52 60 24 Truncated tetrahedral cupoliprism net.png

Prisme icosaedrice: H3 × A1[modificare | modificare sursă]

Acestea au simetrie icosaedrică prismatică [5,3,2], de ordinul 240. Există două subgrupuri indice 2, [(5,3)+,2] and [5,3,2]+, dar al doilea nu produce 4-politopuri uniforme.

Nr. Nume Diagramă
Schlegel
Figura
vârfului
Diagramă
Coxeter
și simbol
Schläfli
Numărul celulelor din poziție Numărul elementelor Desfășurată
Celule Fețe Laturi Vârfuri
57 Prismă dodecaedrică Dodecahedral prism.png Dodecahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{5,3}×{ }
t0,3{5,3,2}
2 Uniform polyhedron-53-t0.png
5.5.5
12 Pentagonal prism.png
4.4.5
14 30 {4}
24 {5}
80 40 Dodecahedral prism net.png
58 Prismă icosidodecaedrică Icosidodecahedral prism.png Icosidodecahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
r{5,3}×{ }
t1,3{5,3,2}
2 Uniform polyhedron-53-t1.png
3.5.3.5
20 Triangular prism.png
3.4.4
12 Pentagonal prism.png
4.4.5
34 40 {3}
60 {4}
24 {5}
150 60 Icosidodecahedral prism net.png
59 Prismă icosaedrică
(același cu prismă tetraedrică snub)
Icosahedral prism.png Snub tetrahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{3,5}×{ }
t2,3{5,3,2}
2 Uniform polyhedron-53-t2.png
3.3.3.3.3
20 Triangular prism.png
3.4.4
22 40 {3}
30 {4}
72 24 Icosahedral prism net.png
60 Prismă dodecaedrică trunchiată Truncated dodecahedral prism.png Truncated dodecahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{5,3}×{ }
t0,1,3{5,3,2}
2 Uniform polyhedron-53-t01.png
3.10.10
20 Triangular prism.png
3.4.4
12 Decagonal prism.png
4.4.10
34 40 {3}
90 {4}
24 {10}
240 120 Truncated dodecahedral prism net.png
61 Prismă rombicosidodecaedrică Rhombicosidodecahedral prism.png Rhombicosidodecahedron prism verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
rr{5,3}×{ }
t0,2,3{5,3,2}
2 Uniform polyhedron-53-t02.png
3.4.5.4
20 Triangular prism.png
3.4.4
30 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
12 Pentagonal prism.png
4.4.5
64 40 {3}
180 {4}
24 {5}
300 120 Small rhombicosidodecahedral prism net.png
62 Prismă icosaedrică trunchiată Truncated icosahedral prism.png Truncated icosahedral prism verf.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{3,5}×{ }
t1,2,3{5,3,2}
2 Uniform polyhedron-53-t12.png
5.6.6
12 Pentagonal prism.png
4.4.5
20 Hexagonal prism.png
4.4.6
34 90 {4}
24 {5}
40 {6}
240 120 Truncated icosahedral prism net.png
63 Prismă icosidodecaedrică trunchiată Truncated icosidodecahedral prism.png Truncated icosidodecahedral prism verf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
tr{5,3}×{ }
t0,1,2,3{5,3,2}
2 Uniform polyhedron-53-t012.png
4.6.10
30 Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
20 Hexagonal prism.png
4.4.6
12 Decagonal prism.png
4.4.10
64 240 {4}
40 {6}
24 {10}
480 240 Great rhombicosidodecahedral prism net.png
64 Prismă dodecaedrică snub Snub dodecahedral prism.png Snub dodecahedral prism verf.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
sr{5,3}×{ }
2 Snub dodecahedron ccw.png
3.3.3.3.5
80 Triangular prism.png
3.4.4
12 Pentagonal prism.png
4.4.5
94 160 {3}
150 {4}
24 {5}
360 120 Snub icosidodecahedral prism net.png
Neuniform Antiprismă dodecahedrică omnisnub Snub 532 verf.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
2 Snub dodecahedron ccw.png
3.3.3.3.5
30+120 Uniform polyhedron-33-t0.png
3.3.3
20 Uniform polyhedron-43-t2.png
3.3.3.3
12 Pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
184 20+240 {3}
24 {5}
220 120

Duoprisme: [p] × [q][modificare | modificare sursă]

Diagramă Schlegel a celei mai simple duoprisme, 3,3-duoprisma, una dintre cele 6 prisme triunghiulare prezentate

Cea de a doua este familia infinită de duoprisme uniforme, produsul de două poligoane regulate. Diagrama Coxeter–Dynkin a unei duoprisme este CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png. Figura vârfurilor lor este tetraedrul disfenoid, Pq-duoprism verf.png.

Când unul dintre cele două poligoane „factor” este un pătrat, această familie se suprapune cu prima: produsul este echivalent cu o hiperprismă a cărui bază este o prismă tridimensională. Ordinul de simetrie al unei duoprisme ai cărei factori sunt un p-gon și un q-gon (o duoprismă „p,q”) este de 4pq dacă p ≠ q; dacă factorii sunt ambii p-goane, ordinul de simetrie este 8p2. Teseractul poate fi considerat o 4,4-duoprismă.

Elementele unei p,q-duoprisme (p ≥ 3, q ≥ 3) sunt:

  • celulele: prisme p q-gonale, prisme, q p-gonale;
  • fețele: pătrate pq, p q-goane, q p-goane;
  • laturile: 2pq;
  • vârfurile: pq.

Nu există un analog uniform cvadridimensional cu familia infinită a antiprismelor tridimensionale.

Mulțimea infinită de duoprisme p-q — CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png — prisme p q-gonale, prisme q p-gonale:

Nume Diagramă Coxeter Celule Diagrame Schlegel Desfășurtă
3-3 duoprismă CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 3+3 prisme triunghiulare 3-3 duoprism.png 3-3 duoprism net.png
3-4 duoprismă CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 3 cubes
4 prisme triunghiulare
3-4 duoprism.png 4-3 duoprism.png 4-3 duoprism net.png
4-4 duoprismă
(același cu tesseract)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 4+4 cuburi 4-4 duoprism.png 8-cell net.png
3-5 duoprismă CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png 3 prisme pentagonale
5 prisme triunghiulare
5-3 duoprism.png 3-5 duoprism.png 5-3 duoprism net.png
4-5 duoprismă CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png 4 prisme pentagonale
5 cuburi
4-5 duoprism.png 5-4 duoprism.png 5-4 duoprism net.png
5-5 duoprismă CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png 5+5 prisme pentagonale 5-5 duoprism.png 5-5 duoprism net.png
3-6 duoprismă CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png 3 prisme hexagonale
6 prisme triunghiulare
3-6 duoprism.png 6-3 duoprism.png 6-3 duoprism net.png
4-6 duoprismă CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png 4 prisme hexagonale
6 cuburi
4-6 duoprism.png 6-4 duoprism.png 6-4 duoprism net.png
5-6 duoprismă CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png 5 prisme hexagonale
6 prisme pentagonale
5-6 duoprism.png 6-5 duoprism.png 6-5 duoprism net.png
6-6 duoprismă CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png 6+6 prisme hexagonale 6-6 duoprism.png 6-6 duoprism net.png
3-3 duoprism.png
3-3
3-4 duoprism.png
3-4
3-5 duoprism.png
3-5
3-6 duoprism.png
3-6
3-7 duoprism.png
3-7
3-8 duoprism.png
3-8
4-3 duoprism.png
4-3
4-4 duoprism.png
4-4
4-5 duoprism.png
4-5
4-6 duoprism.png
4-6
4-7 duoprism.png
4-7
4-8 duoprism.png
4-8
5-3 duoprism.png
5-3
5-4 duoprism.png
5-4
5-5 duoprism.png
5-5
5-6 duoprism.png
5-6
5-7 duoprism.png
5-7
5-8 duoprism.png
5-8
6-3 duoprism.png
6-3
6-4 duoprism.png
6-4
6-5 duoprism.png
6-5
6-6 duoprism.png
6-6
6-7 duoprism.png
6-7
6-8 duoprism.png
6-8
7-3 duoprism.png
7-3
7-4 duoprism.png
7-4
7-5 duoprism.png
7-5
7-6 duoprism.png
7-6
7-7 duoprism.png
7-7
7-8 duoprism.png
7-8
8-3 duoprism.png
8-3
8-4 duoprism.png
8-4
8-5 duoprism.png
8-5
8-6 duoprism.png
8-6
8-7 duoprism.png
8-7
8-8 duoprism.png
8-8

Prisme prismatice poligonale [p] × [ ] × [ ][modificare | modificare sursă]

Mulțimea infinită de prisme prismatice uniforme se suprapune cu duoprismele 4-p: (p ≥ 3) — CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png — p cuburi și 4 prisme p-gonale (toate sunt identice cu duoprisma 4-p ). Al doilea politop din serie este o simetrie inferioară a tesseractului, {4}×{4}.

Prisme prismatice p-gonale convexe[15]
Nume {3}×{4} {4}×{4} {5}×{4} {6}×{4} {7}×{4} {8}×{4} {p}×{4}
Diagramă
Coxeter
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Diagramă
Schlegel
3-4 duoprism.png
4-3 duoprism.png
4-4 duoprism.png 4-5 duoprism.png
5-4 duoprism.png
4-6 duoprism.png
6-4 duoprism.png
4-7 duoprism.png
7-4 duoprism.png
4-8 duoprism.png
8-4 duoprism.png
Celule 3 {4}×{} Hexahedron.png
4 {3}×{} Triangular prism.png
4 {4}×{} Hexahedron.png
4 {4}×{} Tetragonal prism.png
5 {4}×{} Hexahedron.png
4 {5}×{} Pentagonal prism.png
6 {4}×{} Hexahedron.png
4 {6}×{} Hexagonal prism.png
7 {4}×{} Hexahedron.png
4 {7}×{} Prism 7.png
8 {4}×{} Hexahedron.png
4 {8}×{} Octagonal prism.png
p {4}×{} Hexahedron.png
4 {p}×{}
Desfășurată 4-3 duoprism net.png 8-cell net.png 5-4 duoprism net.png 6-4 duoprism net.png 7-4 duoprism net.png 8-4 duoprism net.png

Prisme antiprismatice poligonale: [p] × [ ] × [ ][modificare | modificare sursă]

Mulțimile infinite de prisme antiprismatice uniforme sunt formate din două antiprisme paralele: (p ≥ 2) — CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png — antiprisme 2p-gonale, conectate prin prisme 2p-gonale și 2p prisme triunghiulare.

Prisme antiprismatice p-gonale convexe
Nume s{2,2}×{} s{2,3}×{} {2,4}×{} s{2,5}×{} s{2,6}×{} s{2,7}×{} s{2,8}×{} s{2,p}×{}
Diagramă
Coxeter
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 10.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 12.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 14.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 7.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 16.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Diagramă
Schlegel
Digonal antiprismatic prism.png Triangular antiprismatic prism.png Square antiprismatic prism.png Pentagonal antiprismatic prism.png Hexagonal antiprismatic prism.png Heptagonal antiprismatic prism.png Octagonal antiprismatic prism.png 15-gonal antiprismatic prism.png
Figura
vârfului
Tetrahedral prism verf.png Tetratetrahedral prism verf.png Square antiprismatic prism verf2.png Pentagonal antiprismatic prism verf.png Hexagonal antiprismatic prism verf.png Heptagonal antiprismatic prism verf.png Octagonal antiprismatic prism verf.png Uniform antiprismatic prism verf.png
Celule 2 s{2,2}
(2) {2}×{}={4}
4 {3}×{}
2 s{2,3}
2 {3}×{}
6 {3}×{}
2 s{2,4}
2 {4}×{}
8 {3}×{}
2 s{2,5}
2 {5}×{}
10 {3}×{}
2 s{2,6}
2 {6}×{}
12 {3}×{}
2 s{2,7}
2 {7}×{}
14 {3}×{}
2 s{2,8}
2 {8}×{}
16 {3}×{}
2 s{2,p}
2 {p}×{}
2p {3}×{}
Desfășurată Tetrahedron prism net.png Octahedron prism net.png 4-antiprismatic prism net.png 5-antiprismatic prism net.png 6-antiprismatic prism net.png 7-antiprismatic prism net.png 8-antiprismatic prism net.png 15-gonal antiprismatic prism verf.png

O "prismă antiprismatică p-gonală" are "4p" triunghiuri, "4p" pătrate și 4 fețe p-gonale. Are 10p laturi și 4p vârfuri.

Alternări neuniforme[modificare | modificare sursă]

La fel ca la un cub snub tridimensional, CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png, o alternare elimină jumătate din vârfuri, în două seturi chirale de vârfuri din forma inelată CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png, totuși soluția uniformă necesită ajustarea pozițiilor vârfurilor pentru laturi egale. În cvadridimensional, această ajustare este posibilă pentru numai 2 figuri alternate, în timp ce restul pot exista doar ca figuri alternate neechilaterale

Coxeter a prezentat doar două soluții uniforme pentru grupurile Coxeter de rangul 4 cu toate inelele alternate (nodurile notate cu cercuri goale). Prima este CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png, s{21,1,1} care reprezintă un subgrup indice 24 (simetie [2,2,2]+, ordin 8) de forma unui semitesseract, CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, h{4,3,3} (simetrie [1+,4,3,3] = [31,1,1], ordin 192). A doua este CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png, s{31,1,1}, care este un subgrup indice 6 (simetrie [31,1,1]+, ordin 96) de forma unui 24-celule snub, CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, s{3,4,3}, (simetrie [3+,4,3], ordin 576).

Alte alternări, ca CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png, o alternare a unui tesseract omnitrunchiat CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png, nu poate fi făcut unifom prin rezolvarea problemei laturilor egale deoarece în general sistemul care-l caracterizează este supradeterminat⁠(d), având 6 ecuații și doar 4 variabile. Astfel de figuri alternate neuniforme pot fi construite ca 4-politopuri izogonale prin îndepărtarea uneia dintre cele două jumătăți de vârfuri ale figurii complet inelate, dar vor avea lungimi ale laturilor inegale. La fel ca alternările uniforme, vor avea jumătate din simetria figurii uniforme, cum ar fi [4,3,3]+, ordin 192, care este simetria tesseractului omnitrunchiat alternat.[16]

Construcțiile Wythoff cu alternanțe produc figuri izogonale care pot fi făcute echilaterale, dar nu și uniforme, deoarece golurile alternate (în jurul vârfurilor eliminate) creează celule care nu sunt regulate sau semiregulate. Un nume propus pentru astfel de figuri este politopuri scaliforme.[17] Această categorie admite ca celule un subset de poliedre Johnson, de exemplu cupola triunghiulară.

Fiecare configurație a vârfului dintr-un poliedru Johnson trebuie să existe în figura vârfului. De exemplu, o piramidă pătrată are două configurații ale vârfurilor: 3.3.4 în jurul bazei și 3.3.3.3 la apex.

Desfășuratele și figurile vârfurilor celor două cazuri convexe sunt date mai jos, împreună cu o listă de celule din jurul fiecărui vârf.

Două 4-politopuri convexe izogonale cu celule neuniforme
Diagramă
Coxeter
s3{2,4,3}, CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png s3{3,4,3}, CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Relații 24 din 48 de vârfuri ale
prismei rombicuboctaedrice
288 din 576 de vârfuri ale
24-celule runcitrunchiat
Desfășurată Truncated tetrahedral cupoliprism net.png
4-hosoedru cubic runcic[18][19]
Prismatorhombisnub icositetrachoron net.png
24-celule snub runcic[20][21]
Celule Triangular cupola.png Tetrahedron.png Truncated tetrahedron.png Triangular cupola.png Truncated tetrahedron.png Icosahedron.png Triangular prism.png
Figura
vârfului
Runcic snub 243 verf.png
(1) 3.4.3.4: cupolă triunghiulară
(2) 3.4.6: cupolă triunghiulară
(1) 3.3.3: tetraedru
(1) 3.6.6: tetraedru trunchiat
Runcic snub 24-cell verf.png
(1) 3.4.3.4: cupolă triunghiulară
(2) 3.4.6: cupolă triunghiulară
(2) 3.4.4: prismă triunghiulară
(1) 3.6.6: tetraedru trunchiat
(1) 3.3.3.3.3: icosaedru

Derivări geometrice ale celor 46 de 4-politopuri uniforme wythoffiene neprismatice[modificare | modificare sursă]

Cele 46 de politopuri wythoffiene includ cele șase 4-politopuri regulate convexe. Celelalte patruzeci pot fi obținute din 4-politopurile regulate prin operații geometrice care păstrează majoritatea sau toate simetriile, prin urmare pot fi clasificate după grupul de simetrie comun.

Polychoron truncation chart.png
Diagrama rezumativă a operațiilor de trunchiere
Uniform honeycomb truncations.png
Exemple de poziții ale punctului generator caleidoscopic din domeniul fundamental

Operațiile geometrice prin care se obțin cele 40 de politopuri uniforme din 4-politopurile regulate sunt operații de trunchiere. Un 4-politop poate fi trunchiat la vârfuri, laturi sau fețe, ducând la adăugarea de celule corespunzătoare acelor elemente, fapt prezentat în coloanele tabelelor următoare.

Diagrama Coxeter–Dynkin arată prin noduri cele patru oglinzi ale caleidoscopului wythoffian, iar laturile dintre noduri sunt etichetate cu un număr întreg care arată unghiul dintre oglinzi ( radiani sau . Nodurile inelate arată care oglinzi sunt active pentru fiecare formă; o oglindă este activă față de un vârf care nu se află pe ea.

Operația Simbol Schläfli Simetrie Diagramă Coxeter Descriere
Inițial t0{p,q,r} [p,q,r] CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Forma regulată inițială {p,q,r}
Rectificare t1{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Trunchierea este aplicată până când laturile inițiale degenerează în puncte.
Birectificare
(Dual rectificat)
t2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Fețele sunt trunchiate la puncte. Aceeași ca dual rectificat.
Trirectificare
(dual)
t3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Celulele sunt trunchiate la puncte. Dual regulat {r,q,p}
Trunchiere t0,1{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Fiecare vârf este tăiat până la mijlocul fiecărei laturi inițiale. Unde s-a aflat vârful apare o nouă celulă, figura vârfului 4-politopului inițial. Fiecare celulă inițială este, de asemenea, trunchiată.
Bitrunchiere t1,2{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png O trunchiere între o formă rectificată și forma rectificată duală.
Tritrunchiere t2,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Dual trunchiat {r,q,p}.
Cantelare t0,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png O trunchiere aplicată laturilor și vârfurilor și definește o progresie între forma regulată rectificată și forma duală rectificată.
Bicantelare t1,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Dual cantelat {r,q,p}.
Runcinare
(sau expandare)
t0,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png O trunchiere aplicată celulelor, fețelor și laturilor; definește o progresie între o formă regulată și cea duală.
Cantitrunchiere t0,1,2{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Ambele operații de cantelare și trunchiere.
Bicantitrunchiere t1,2,3{p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Dual cantitrunchiat {r,q,p}.
Runcitrunchiere t0,1,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Ambele operații de runcinare și trunchiere.
Runcicantelare t0,1,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Dual runcitrunchiat {r,q,p}.
Omnitrunchiere
(runcicantitrunchiere)
t0,1,2,3{p,q,r} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Toate trei operațiile de cantelare, runcinare și trunchiere.
Înjumătățire h{2p,3,q} [1+,2p,3,q]
=[(3,p,3),q]
CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Alternare a CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png, aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Cantic h2{2p,3,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
Runcic h3{2p,3,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Runcicantic h2,3{2p,3,q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Sfertuire q{2p,3,2q} [1+,2p,3,2q,1+] CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h1.png Aceeași cu CDel labelp.pngCDel branch 10r.pngCDel splitcross.pngCDel branch 01l.pngCDel labelq.png
Snub s{p,2q,r} [p+,2q,r] CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Trunchiere alternată
Snub cantic s2{p,2q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png Trunchiere alternată cantelată
Snub runcic s3{p,2q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png Trunchiere alternată runcinată
Snub runcicantic s2,3{p,2q,r} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node 1.png Trunchiere alternată runcicantelată
Snub rectificat sr{p,q,2r} [(p,q)+,2r] CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel r.pngCDel node.png Trunchiere alternată rectificată
ht0,3{2p,q,2r} [(2p,q,2r,2+)] CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel r.pngCDel node h.png Runcinare alternată
Bisnub 2s{2p,q,2r} [2p,q+,2r] CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel r.pngCDel node.png Bitrunchiere alternată
Omnisnub ht0,1,2,3{p,q,r} [p,q,r]+ CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel r.pngCDel node h.png Omnitrunchiere alternată

Dacă două politopuri sunt duale (de exemplu tesseractul și 16-celule, sau 120-celule și 600-celule), atunci „bitrunchierea”, „runcinarea” sau omnitrunchierea produc aceeași figură ca aceeași operație aplicată celuilalt. Astfel, acolo unde în tabel apare doar unul dintre cazuri, trebuie înțeles că se aplică oricăruia dintre cele două 4-politopuri inițiale.

Rezumatul construcțiilor prin simetrie extinsă[modificare | modificare sursă]

Cele 46 de 4-politopuri uniforme construite din simetriile A4, B4, F4 și H4 sunt date în acest tabel prin simetria lor extinsă completă și diagramele Coxeter. Alternările sunt grupate după simetria lor chirală. Toate alternările sunt date, deși 24-celule snub, cu 3 familii de construcții, este singurul care este uniform. Numerele din paranteză sunt fie repetări, fie neuniforme. Diagramele Coxeter sunt date cu indici 1 până la 46. Sunt incluse familiile duoprismatice 3-3 și 4-4, a doua pentru relația sa cu familia B4.

Grup Coxeter Simetrie extinsă 4-politopuri Simetrie
extinsă
chirală
Faguri alternați
[3,3,3]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3,3]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.png
(order 120)
6 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(1) | CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(2) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(3)
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(4) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(7) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(8)
[2+[3,3,3]]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
(order 240)
3 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(5)| CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(6) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(9) [2+[3,3,3]]+
(order 120)
(1) CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png(−)
[3,31,1]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[3,31,1]
CDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.png
(order 192)
0 (nu există)
[1[3,31,1]]=[4,3,3]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c3.png = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node.png
(order 384)
(4) CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png(12) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png(17) | CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png(11) | CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png(16)
[3[31,1,1]]=[3,4,3]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(order 1152)
(3) CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png(22) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png(23) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png(24) [3[3,31,1]]+
=[3,4,3]+
(order 576)
(1) CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png(31) (= CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png)
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(−)
[4,3,3]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3[1+,4,3,3]]=[3,4,3]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.png = CDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
(order 1152)
(3) CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(22) | CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(23) | CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(24)
[4,3,3]
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.png
(order 384)
12 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(10) | CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(11) | CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(12) | CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(13) | CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(14)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(15) | CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(16) | CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(17) | CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(18) | CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(19)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(20) | CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(21)
[1+,4,3,3]+
(order 96)
(2) CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(12) (= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png)
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png(31)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png(−)
[4,3,3]+
(order 192)
(1) CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png(−)
[3,4,3]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,4,3]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.png
(order 1152)
6 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(22) | CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(23) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(24)
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(25) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(28) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(29)
[2+[3+,4,3+]]
(order 576)
1 CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(31)
[2+[3,4,3]]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
(order 2304)
3 CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(26) | CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(27) | CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(30) [2+[3,4,3]]+
(order 1152)
(1) CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png(−)
[5,3,3]
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[5,3,3]
CDel node c1.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.png
(order 14400)
15 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(32) | CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(33) | CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(34) | CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(35) | CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png(36)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(37) | CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(38) | CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png(39) | CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(40) | CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png(41)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.png