24-celule

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
24-celule
Schlegel wireframe 24-cell.png
Diagramă Schlegel
(vârfuri și laturi)
Tip4-politop regulat convex
Simbol Schläfli{3,4,3}
r{3,3,4} =
{31,1,1} =
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png or CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png or CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png
Celule24 {3,4} Octahedron.png
Fețe96 {3}
Laturi96
Vârfuri24
Figura vârfului24 cell verf.png
Cub
Poligon Petriedodecagon
Grup CoxeterF4, [3,4,3], order 1152
B4, [4,3,3], order 384
D4, [31,1,1], ordinul 192
Dualautodual
Proprietățiconvex, izogonal, izotoxal, izoedric
Index uniform22
Desfășurată

În geometrie 24-celule[a] este un obiect cvadridimensional, un 4-politop convex regulat[1] cu simbolul Schläfli {3,4,3}. Mai este cunoscut drept octaplex, C24[2] sau alte denumiri întâlnite în literatura în limba engleză.

Este format din celule octaedrice dintre care câte 6 se întâlnesc în fiecare vârf și câte 3 în fiecare latură. Împreună celulele au 96 de fețe triunghiulare, 96 de laturi și 24 de vârfuri. Figura vârfului este un cub. 24-celule este autodual.[b] Acesta și tesseractul sunt singurele 4-politopuri convexe regulate la care lungimea muchiei este egală cu raza sferei circumscrise.

24-celule nu are un analog regulat tridimensional. Este singurul dintre cele șase 4-politopuri convexe regulate, care nu este analogul în patru dimensiuni al unuia dintre cele cinci poliedre platonice. Totuși, poate fi văzut ca analogul unei perechi de poliedre neregulate: cuboctaedrul și dualul său, dodecaedrul rombic.

24-celule identice fiind în contact la nivel de fețe pot umple spațiul cvadridimensional, formând fagurele 24-celule. Ca un politop care poate pava prin translație, 24-celule este un exemplu de paralelotop, cel mai simplu care nu este și un zonotop.

Geometrie[modificare | modificare sursă]

24-celule încorporează geometriile fiecărui politop regulat convex din primele patru dimensiuni, cu excepția 5-celule, a celor cu un 5 în simbolul lor Schlӓfli, adică pentagonul {5}, dodecaedrul {5,3}, 600-celule {3,3,5} și 120-celule {5,3,3} și a poligoanelor {7} și cu mai multe laturi. Explorarea unui 24-celule este deosebit de utilă deoarece se pot vedea relațiile geometrice dintre toate aceste politopuri regulate într-un singur 24-celule sau fagurele său.

24-celule este al patrulea din secvența de 6 politopuri regulate convexe (în ordinea mărimii și complexității). Politopurile regulate convexe pot fi ordonate după dimensiune ca măsură a conținutului 4-dimensional (hipervolum) pentru aceeași rază. Fiecare politop mai mare din secvență este „mai rotund” decât predecesorul său, cuprinzând mai mult conținut în aceeași rază.[3] 5-celule (4-simplexul) este cel mai mic, iar 120-celule este cel mai mare. Complexitatea poate fi apreciată comparând matricele configurațiilor lor, sau chiar doar numerele vârfurilor lor.[4]

Coordonate[modificare | modificare sursă]

Pătrate[modificare | modificare sursă]

24-celule este anvelopa convexă a vârfurilor sale, care poate fi descrisă de permutările celor 24 de coordonate:

.

Aceste coordonate[5] pot fi generate ca CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, rectificând 16-celule, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, cu permutările a 8 vârfuri (±2,0,0,0). Figura vârfului a 16-celule este octaedrul; astfel, tăierea vârfurilor 16-celulei la mijlocul laturilor incidente în vârf produce 8 celule octaedrice. Acest proces[6] produce și rectificarea celulelor tetraedrice ale 16-celule, care devun 16 octaedre, dând cele 24 de celule octaedrice ale 24-celule.

În acest cadru, 24-celule are laturi de lungime 2 și este înscris într-o 3-sferă de rază 2. În mod remarcabil, lungimea muchiei este egală cu raza sferei circumscrise, ca la hexagon, sau cuboctaedru. Astfel de politopuri sunt echilaterale radial.[c]

Cele 24 de vârfuri pot fi văzute ca vârfurile a 3 perchi de pătrate ortogonale din cele 6 plane ale coordonatelor, fiind pătrate ecuatoriale[d] care se intersectează[g] doar în centrul comun.

Hexagoane[modificare | modificare sursă]

Cele 24 de elemente ale cuaternionilor grupului tetraedric binar, 2T, corespund vârfurilor 24-celulei.
În proiecția simetriilor 4-pliabile există:
* 1 de ordinul 1:   1
* 1 de ordinul 2: −1
* 6 de ordinul 4: ±i, ±j, ±k
* 8 de ordinul 6: (+1, ±i, ±j, ±k)/2
* 8 de ordinul 3: (−1, ±i, ±j, ±k)/2.

24-celule este autodual, având același număr de vârfuri (24) ca și celulele și același număr de laturi (96) ca și fețele.

Dacă dualul 24-celule cu lungimea laturii 2 este generat pe baza sferei încrise, se obține un alt 24-celule, care are lungimea laturii și raza sferei circumscrise 1, iar coordonatele sale descriu mai bine structura. În acest cadru, 24-celule este poziționat cu un vârf în sus, iar vârfurile sale pot fi obținute după cum urmează:

8 vârfuri obținute prin permutarea coordonatelor întregi:

(±1, 0, 0, 0)

și 16 vârfuri cu coordonate la jumătate de întreg, de forma:

1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

toate 24 aflându-se la distanța 1 de origine. Aceștia sunt cuaternioni Hurwitz.

În acest sistem de coordonate 24-celule are raza și lungimea laturilor egale cu unitatea[c]. Acesta diferă de cel cu raza 2 folosit mai sus[h]

Cele 24 de vârfuri pot fi văzute ca vârfurile a 4 hexagone ecuatoriale ortogonale[i] care se intersectează numai în centrul lor comun.[j]

Triunghiuri[modificare | modificare sursă]

Cele 24 de vârfuri pot fi văzute ca vârfurile a 8 triunghiuri echilaterale situate[k] în 4 plane ecuatoriale ortogonale[l] care se intersectează doar în centrul lor comun.

Coarde hipercubice[modificare | modificare sursă]

Geometria vârfului 24-celulei ehilaterală radial[c], care arată cele 3 poligoane înscrise într-un cerc mare și cele 4 lungimi ale coardelor de la vârf la vârf

Cele 24 de vârfuri ale 24-celulei sunt distribuite[7] la patru diagonale cu lungimi diferite: 1, 2, 3 și 4.

Fiecare vârf este conectat la alte 8. Acestea înconjoară vârful (în spațiul tridimensional al anvelopei 24-celulei), la o distanță de 1, și care subîntind un unghi de 60° = , în felul în care cele 8 vârfuri ale unui cub îi înconjoară centrul, figura vârfului 24-celulei fiind un cub.

Următoarele ca distanță sunt 6 vârfuri care înconjoară vârful (în spațiul tridimensional) la o distanță de 2, și care subîntind un unghi de 90° = , în felul în care cele 6 vârfuri ale unui octaedru îi înconjoară centrul. Alte 8 vârfuri se află la 120° = , la distanța de 3 pe coarde interioare. Vârful opus este la 180° = , la distanța de 2, pe diametru. Final, deoarece 24-celule este ehilateral radial, centrul său poate fi considerat[m] drept un al 25-lea vârf canonic (apex),[n] fiind la distanța 1 de toate celelalte.

Pentru a vizualiza modul în care sunt aranjate politopurile interioare ale 24-celulei, se observă că cele patru lungimi ale coardelor (1, 2, 3, 4) sunt diagonalele hipercuburilor din dimensiunile 1 până la 4: diagonala pătratului este 2; cea a cubului este 3; iar cea a tesseractului este 4. Mai mult, diagonala octaedrului este 2 ca a pătratului; iar diagonala 24-celulei este 4 ca a tesseractului.

Geodezice[modificare | modificare sursă]

Coardele unui 24-celule sunt aranjate în cercuri mari geodezice care se află în seturi de plane ortogonale. Distanța geodezică dintre două vârfuri ale unui 24-celule de-a lungul unei căi cu laturi de 1 este întotdeauna 1, 2 sau 3 și este 3 numai pentru vârfurile opuse. Laturile 1 apar în 16 cercuri mari cu hexagoane (4 seturi de 4 plane ortogonale,[j]), din care câte 4 se intersectează în fiecare vârf.[o] Cele 96 de laturi distincte 1 împart suprafața în 96 de fețe triunghiulare și 24 de celule octaedrice: un 24-celule.

Coardele 2 apar în 18 cercuri mari cu pătrate (3 seturi de 6 plane ortogonale[e]), dintre care câte 3 se întâlnesc în fiecare vârf.[p] Cele 72 de coardei distincte 2 nu sunt situate în aceleași plane ca cercurile mari cu hexagoane; nu sunt situate pe laturile 24-celulei, trec prin centrele celulelor sale octogonale.[q]

Coardele 3 apar în 32 cercuri mari cu triunghiuri în 16 plane (4 seturi de 4 plane ortogonale),[l] dintre care 4 se intersectează în fiecare vârf.[r] Cele 96 de coarde distincte 3 merg de la un vârf la oricare alt vârf din aceleași plan al cercurilor mari cu hexagoane.[k]

Coardele 4 apar ca 12 diametre de la vârf la vârf (3 seturi de 4 axe ortogonale), fiind formate din cele 24 de raze din jurul celui de-al 25-lea vârf central.[n]

Laturile 1 apar în 48 de perechi paralele, la capetele perechilor 3. Coardele 2 apar în 36 de perechi paralele, la capetele perechilor 2. Coardele 3 apar în 48 de perechi paralele, la capetele perechilor 1.[s]

Fiecare plan al unui cerc mare se intersectează cu fiecare dintre celelalte plane de cercuri mari sau plane ale fețelor cu care sunt ortogonale numai în punctul central și cu fiecare dintre celelalte cu care nu este ortogonal într-o singură laură de un tip. În fiecare caz intersecția este una din coardele 24-celulei.[t]

Construcții[modificare | modificare sursă]

Triunghiurile și pătratele se reunesc în mod unic în 24-celule pentru a genera sub formă de caracteristici interioare[m] toate politopurile convexe regulate cu fețe triunghiulare sau pătrate din primele patru dimensiuni, cu excepția a 5-celule și 600-celule. 600-celule este mai mare decât 24-celule și conține pe 24-celule drept caracteristică interioară.[8] 5-celule regulat nu se găsește în interiorul niciunui 4-politop regulat convex, cu excepția a 120-celule,[9] deși fiecare 4-politop poate fi descompus în 5-celule neregulate. În consecință, există numeroase moduri de a construi sau descompune un 24-celule.

Construcții alternative din 8-celule și 16-celule[modificare | modificare sursă]

Cele 8 vârfuri întregi (±1, 0, 0, 0) sunt vârfurile unui 16-celule regulat, iar cele 16 vârfuri la jumătate de întreg (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) sunt vârfurile dualului său, tesseractul (8-celule). Tesseractul oferă construcția lui Gosset a 24-celule,[10] echivalentă cu divizarea tesseractului în 8 piramide cubice, și apoi atașarea acestora la fațetele unui al doilea tesseract. O construcție analoagă în spațiul tridimensional dă dodecaedrul rombic care, totuși, nu este regulat. 16-celule oferă construcția alternativă a 24-celule, construcția lui Cesaro,[11] echivalentă cu rectificarea unei 16-celule (trunchierea colțurilor sale la mijlocul laturilor, așa cum este descris mai sus). Construcția analogă în 3-spațiu dă cuboctaedrul (dual al dodecaedrului rombic) care nici el nu este regulat. Tesseractul și 16-celule sunt singurele 4-politopuri regulate din 24-celule.[12]

Se pot împărți în continuare cele 16 vârfuri la jumătate de întreg în două grupuri: cele ale căror coordonate conțin un număr par de semne minus (−) și cele cu un număr impar. Fiecare dintre aceste grupuri de 8 vârfuri definește un 16-celule regulat. Acest lucru arată că vârfurile a 24-celule pot fi grupate în trei seturi disjuncte de opt, fiecare set definind un 16-celule regulat și complementul care definește tesseractul dual.[13] Acest lucru arată și că simetriile unei 16-celule formează un subgrup cu indice 3 al grupului de simetrie al 24-celule.

Dimininuări[modificare | modificare sursă]

Se poate fațeta 24-celule prin tăierea prin celulele interioare delimitate de coardele dintre vârfuri pentru a îndepărta vârfurile, expunând fațete ale 4-politopurilor interioare înscrise în 24-celule.

Se poate tăia un 24-celule în două părți prin planele oricărui hexagon plan prin 6 vârfuri, a oricărui dreptunghi plan prin 4 vârfuri sau a oricărui triunghi prin 3 vârfuri. Planele cercurilor mari (v. mai sus) sunt doar câteva dintre acele plane. Aici se vor expune unele dintre celelalte: planele fețelor [v] politopurilor interioare.[w]

8-celule[modificare | modificare sursă]

Pornind de la un 24-celule complet, se elimină 8 vârfuri ortogonale (4 perechi opuse pe 4 axe perpendiculare) și cele câte 8 laturi care radiază din fiecare, prin tăierea a 8 celule cubice cu laturi 1, pentru a elimina 8 piramide cubice ale căror apexuri sunt vârfurile care trebuie eliminate. Aceasta elimină câte 4 laturi din fiecare cerc mare cu hexagon (reținând doar o pereche opusă de laturi), astfel încât să nu rămână cercuri mari cu hexagoane continue. Acum, 3 laturi perpendiculare se întâlnesc și formează colțul unui cub în fiecare dintre cele 16 vârfuri rămase,[x] iar cele 32 de laturi rămase împart suprafața în 24 de fețe pătrate și 8 celule cubice: un tesseract. Există trei moduri în care se poate face acest lucru (se alege câte un set de 8 vârfuri ortogonale din 24), deci există trei astfel de tesseracte înscrise în 24-celule. Se suprapun între ele, dar majoritatea seturilor lor de elemente sunt disjuncte: au în comun un număr de vârfuri, dar nu au lungimea laturii, fețele sau volumul 24-celulei. Ele au în comun 4-nucleul lor comun.[y]

16-celule[modificare | modificare sursă]

Pornind de la un 24-celule complet, se elimină 16 vârfuri ale unui teseract (reținând cele 8 vârfuri eliminate în cazul de mai sus), prin tăierea a 16 celule tetraedrice mărginite de coarde 2 pentru a elimina 16 piramide tetraedrice ale căror apexuri sunt vârfurile care trebuie eliminate. Aceasta elimină 12 pătrate mari (păstrând doar un set ortogonal) și toate laturile 1, expunând coardele 2 ca noile laturi. Acum restul de 6 pătrate mari se intersectează perpendicular, câte 3 în fiecare dintre cele 8 vârfuri rămase,[z] iar cele 24 de laturi ale acestora împart suprafața în 32 de fețe triunghiulare și 16 celule tetraedrice: o 16-celulă. Există trei moduri în care se poate face acest lucru (se elimină câte unul din seturile de 8 vârfuri ortogonale din 24), deci există trei astfel de 16-celule înscrise în 24-celule. Se suprapun între ele, dar majoritatea seturilor lor de elemente sunt disjuncte: nu au în comun niciun vârf, latură sau față. Ele au în comun 4-nucleul lor comun.[y]

Construcții tetraedrice[modificare | modificare sursă]

24-celule poate fi construit radial din 96 de triunghiuri echilaterale cu lungimea laturii 1 care se întâlnesc în centrul politopului, fiecare contribuind cu două raze și o latură.[c] Ele formează 96 de tetraedre (fiecare contribuind cu o față a 24-celulei), toate având în comun al 25-lea vârf central. Acestea formează 24 de piramide octaedrice (semi-16-celule) cu apexurile lor în centru.

24-celule pot fi construite din 96 de triunghiuri echilaterale cu lungimea laturii 2, unde cele trei vârfuri ale fiecărui triunghi sunt situate la 90° = departe unul de celălalt. Ele formează 48 de tetraedre 2 (celulele a trei 16-celule).

Relațiile dintre politopurile interioare[modificare | modificare sursă]

24-celule, trei tesseracte și trei 16-celule sunt strâns legate prin centrul lor comun și se intersectează într-un nucleu comun.[y] Tesseractele sunt înscrise în 24-celule (cele 24 de vârfuri ale 24-celulei, care sunt utilizate fiecare de câte două ori, sunt cele 16 vârfuri a trei tesseracte), astfel încât vârfurile și marginile lor sunt elemente exterioare ale celor 24 de celule, dar fețele pătrate și celulele cubice se află în interiorul 24-celulei (nu sunt elemente ale 24-celulei). Cele trei 16-celule sunt înscrise în 24-celule (cele 24 de vârfuri ale 24-celulei, utilizate fiecare câte o dată, sunt cele 8 vârfuri ale celor trei 16-celule), astfel încât doar vârfurile lor sunt elemente exterioare ale 24-celule: laturile lor, fețele triunghiulare și celulele tetraedrice se află în interiorul 24-celulei. Laturile interioare ale 16-celulelor (laturile 16-celulelor nu sunt afișate în niciuna dintre imaginile din acest articol; dacă s-ar dori prezentarea laturilor interioare, acestea ar putea fi desenate ca linii punctate. Laturile tesseractelor înscrise sunt întotdeauna vizibile, deoarece sunt și laturi ale 24-celulei) au lungimea 2.

Desene ale lui Kepler cu tetraedre înscrise în cub.[14]

16-celulele sunt înscrise în tesseracte: laturile lor 2 sunt diagonalele fețelor tesseractelor, iar cele 8 vârfuri ale acestora sunt și vârfuri al tesseractelor. Fiecare tesseract are două 16-celule înscrise în el (care ocupă vârfurile și diagonalele opuse), deci fiecare 16-celule este înscris în două dintre cele trei 8-celule.[15] Acest lucru amintește de modul în care, în 3 dimensiuni, două tetraedre pot fi înscrise într-un cub, așa cum a fost descoperit de Kepler.[14] De fapt, este analogia dimensională exactă (semihipercuburile), iar cele 48 de celule tetraedrice sunt înscrise în cele 24 de celule cubice exact în acest fel.[16]

24-celule conține cele trei tesseracte în anvelopa sa de fațete octaedrice, lăsând un spațiu cvadridimensional în unele locuri între anvelopa sa și anvelopele de cuburi al fiecărui tesseract. Fiecare tesseract cuprinde două dintre cele trei 16-celule, lăsând spațiu cvadridimensional în unele locuri între anvelopa sa și anvelopa de tetraedre a fiecărui 16-celule. Astfel există măsurabile:[17] interstiții cvadridimensionale [aa] între anvelopele 24-celulei, 8-celulelor și 16-celulelor. Formele care umplu aceste goluri sunt 4-piramide, menționate mai sus.[ab]

Celule de frontieră[modificare | modificare sursă]

În ciuda interstițiilor cvadridimensionale dintre anvelopele 24-celulei, 8-celulelor și 16-celulelor, volumele lor tridimensionale se suprapun. Diferitele anvelope sunt separate în unele locuri și în contact în alte locuri (unde nu există 4-piramide între ele). Unde ele sunt în contact, se îmbină și divizează volumul celulei: sunt aceleași 3-membrane în acele locuri, nu două straturi tridimensionale separate, ci adiacente.[ad] Deoarece există în total 7 anvelope, există locuri în care mai multe anvelope se reunesc și au volume în comun și au locuri în care anvelopele se întrepătrund (se intersectează de la interior la exterior fiecare cu celelalte).

Unele caracteristici interioare se află în spațiul tridimensional (exterior) al anvelopei 24-celulei: fiecare celulă octaedrică este divizată de trei pătrate perpendiculare (câte unul din fiecare tesseract) și diagonalele acelor pătrate (care se intersectează perpendicular unul pe altul în centrul octaedrului) sunt laturi ale 16-celulelor (câte una din fiecare 16-celule). Fiecare pătrat divizează un octaedru în două piramide pătrate și mărginește două celule cubice adiacente ale unui tesseract ca față comună a lor.

După cum s-a spus mai sus, celulele tetraedrice 2 ale 16-celulelor sunt înscrise în celulele cubice ale tesseractelor 1, având în comun același volum. Celulele octaedrice ale 24-celulei 1 se suprapun în același volum cu celulele cubice 1: sunt divizate de o față pătrată în două piramide pătrate,[18] apexurile lor fiind în vârfurile cuburilor.[ae] Octaedrele au în comun volumul nu numai cu cuburile, ci și cu tetraedrul înscris în ele; astfel 24-celulele, tesseractele și 16-celulele au toate în comun părți din volumele care le mărginesc.[ac]

Configurație[modificare | modificare sursă]

Matricea de configurație[20] de mai jos reprezintă un 24-celule. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonala principală arată câte din fiecare element apar în întregul 24-celule. Celelalte numere arată câte dintre elementele coloanei apar în sau la elementul rândului.

Deoarece 24-celule este autodual, matricea sa este identică cu cea rotită cu 180°.

Simetriile, sistemele de vectori generatori și teselările[modificare | modificare sursă]

Compusul cu 24 de vârfuri ale 24-celule (nodurile roșii) și dualul său nescalat (nodurile galbene), reprezintă cei 48 de vectori generatori ai grupului F4, așa cum se arată în această proiecție în planul Coxeter a F4

Cei 24 de vectori generatori ai sistemului de generatori ai D4 din grupul Lie simplu SO(8) formează vârfurile unui 24-celule. Vârfurile pot fi văzute în 3 hiperplane,[u] câte 6 vârfuri ale celor două celule octaedrice, câte una pe fiecare dintre hiperplanele exterioare și cele 12 vârfuri ale unui cuboctaedru pe un hiperplan central. Aceste vârfuri, combinate cu cele 8 vârfuri ale 16-celulei, reprezintă cei 32 de vectori generatori ai grupurilor Lie simple B4 și C4.

Cele 48 de vârfuri (sau strict vorbind vectorii razelor lor) ale reuniunii 24-celulei și a dualului său formează sistemul de generatori de tipul F4.[22] Cele 24 de vârfuri ale 24-celule inițial formează un sistem de generatori de tip D4; dimensiunea sa are raportul 2:1. Acest lucru este valabil și pentru cele 24 de vârfuri ale dualului său. Grupul de simetrie complet al 24-celule este grupul Weyl al lui F4, care este generat de reflexiile pe hiperplanele ortogonale ale generatorilor F4. Acesta este un grup rezolvabil de ordinul 1152. Grupul de simetrie de rotație al 24-celule este de ordinul 576.

Interpretare cuaternionică[modificare | modificare sursă]

Când este interpretat prin cuaternioni, laticea generatorilor F4 (care este generarea integrală a vârfurilor unui 24-celule) este un inel. Acesta este inelul cuaternionilor Hurwitz. Vârfurile unui 24-celule formează grupul de unități (adică grupul de elemente inversabile) din inelul de cuaternioni Hurwitz (acest grup este, de asemenea, cunoscut sub numele de grupul tetraedric binar). Vârfurile unui 24-celule sunt tocmai cei 24 de cuaternioni Hurwitz cu norma pătrată 1, iar vârfurile unui 24-celule sunt cele cu norma pătrată 2. Laticea generatorilor D4 este duala celei a F4 și este dată de subinelul cuaternionilor Hurwitz cu normă pătrată.

Vârfurile altor 4-politopuri regulate convexe formează, de asemenea, grupuri multiplicative de cuaternioni, dar puține dintre ele generează o latice de generatori.

Celule Voronoi[modificare | modificare sursă]

Celulele Voronoi ale laticei generatorilor D4 sunt 24-celule regulate. Teselarea Voronoi corespunzătoare dă teselarea 4-dimensională a spațiului euclidian cu 24-celule regulate, fagurele 24-celule. 24-celulele sunt centrate în punctele laticei D4 (cuaternionii Hurwitz cu normă pătrată pară) în timp ce vârfurile sunt în punctele laticei F4 cu normă pătrată impară. Fiecare 24-celule ale acestei teselări are 24 de vecini. Cu fiecare dintre aceștia are în comun un octaedru. De asemenea, are alți 24 de vecini cu care are în comun doar un singur vârf. Opt 24-celule se întâlnesc în orice vârf din această teselare. Simbolul Schläfli pentru această teselare este {3,4,3,3}. Este una dintre cele trei teselări regulate ale R4.

Bila unitate înscrisă în 24-celule ale acestei teselări dă naștere celei mai dense împachetări a hipersferelor din 4 dimensiuni. De asemenea, s-a arătat că configurația vârfului 24-celulei dă cel mai mare număr de contacte în 4 dimensiuni.

Fagure radial echilateral[modificare | modificare sursă]

Duala teselării fagurelui 24-celule {3,4,3,3} este fagurele 16-celule {3,3,4,3}. A treia teselare regulată a spațiului cvadridimensional este fagurele tesseractic {4,3,3,4}, ale cărui vârfuri pot fi descrise prin coordonate carteziene cu 4 numere întregi. Relațiile congruente dintre aceste trei teselări pot fi utile în vizualizarea unui 24-celule, în special a simetriei echilaterale radiale pe care are în comun cu tesseractul.[c]

Un fagure 24-celule cu lungimea laturii unitate poate fi suprapus pe un fagure tesseractic cu lungimea laturii unitate astfel încât fiecare vârf al unui tesseract (fiecare coordonată de 4 numere întregi) să fie, de asemenea, un vârf al unui 24-celule (laturile tesseractelor sunt și laturile 24-celuleilor) și fiecare centru al unui 24-celule este, de asemenea, centrul unui tesseract.[23] 24-celulele au în 4 dimensiuni un hipervolum de două ori mai mare ca tesseractele, deci în general există două tesseracte pentru fiecare 24-celule, dintre care doar jumătate sunt înscrise într-un 24-celule. Dacă tesseractele respective sunt colorate în negru, iar tesseractele lor adiacente (cu care împart o fațetă cubică) sunt colorate în roșu, rezultă o tablă de șah 4-dimensională.[24] Dintre razele fiecărui 24-celule[af] 16 sunt șirazele unui tesseract negru înscris în 24-celule. Celelalte 8 raze se extind în afara tesseractului negru (prin centrele fațetelor sale cubice) până la centrele celor 8 tesseracte roșii adiacente. Astfel fagurele 24-celule și fagurele tesseractic coincid într-un mod special: 8 din cele 24 de vârfuri ale fiecărui 24-celule nu apar ca vârfuri al unui tesseract (ele apar în schimb în centrul unui tesseract). Fiecare tesseract negru este tăiat dintr-un 24-celule prin trunchierea acestuia la aceste 8 vârfuri, fiind tăiate 8 piramide cubice (ca în cazul inversării construcției lui Gosset,[10] dar în loc să fie eliminate, piramidele sunt pur și simplu colorate în roșu și lăsate la locul lor). Opt 24-celule se întâlnesc în centrul fiecărui tesseract roșu: fiecare își întâlnește opusul în acel vârf comun, iar celelalte șase într-o celulă octaedrică comună.

Tesseractele roșii sunt celule umplute (conțin un vârf central și raze); tesseractele negre sunt celule goale. Setul de vârfuri al acestei reuniuni de doi faguri include vârfurile tuturor celor 24-celule și tesseractei, plus centrele tesseractelor roșii. Adăugarea centrelor 24-celulelor (care sunt, de asemenea, centrele tesseractelor negre) la acest fagure produce un fagure 16-celule, al cărui set de vârfuri include toate vârfurile și centrele tuturor celor 24-celule și tesseracte. Fostul centre golale al 24-celulelor adiacente devin vârfurile opuse ale 16-celulelor latura unitate. 24 de semi-16-celule (piramide octaedrice) se întâlnesc în fiecare centru anterior gol pentru a umple fiecare 24- celule, iar bazele lor octaedrice sunt fațetele octaedrice cu 6 vârfuri ale 24-celulei (partajate cu un 24-celule adiacent).[ag]

Rotații[modificare | modificare sursă]

Există trei orientări diferite ale fagurului tesseractic care ar putea fi făcut să coincidă cu fagurele 24-celule în funcție de care dintre cele trei seturi disjuncte de 24-celule de 8 vârfuri ortogonale (care set de 4 axe perpendiculare) a fost ales pentru a-l alinia, la fel cum se pot înscrie trei tesseracte în 24-celule, rotite unul față de celălalt. Distanța de la una dintre aceste orientări la alta este o rotație izoclinică de 60° (o rotație dublă de 60° de grade în fiecare pereche de plane ortogonale invariante, în jurul unui singur punct fix).[aj] Această rotație poate fi văzută cel mai clar în planele centrale cu hexagoane, unde hexagonul se rotește pentru a schimba care dintre cele trei diametre ale sale este aliniat cu o axă a sistemului de coordonate.[i]

Setul de vârfuri al 24-celule este grupul tetraedric binar. Privite ca cei 24 de cuaternioni Hurwitz unitate, [#Hexagoane|coordonatele razei unitate]] a 24-celule reprezintă (în perechi antipodale) cele 12 rotații ale unui tetraedru regulat.[26]

Proiecții[modificare | modificare sursă]

Proiecții paralele[modificare | modificare sursă]

Proiecții ale anvelopei unui 24-celul; fiecare celulă are fețele colorate diferit, celulele inversate nu sunt redate

Proiecția paralelă cu un vârf în față a avelopei unui 24-celul în spațiul tridimensional este un dodecaedru rombic. Douăsprezece din cele 24 de celule octaedrice se proiectează în perechi pe șase dipiramide pătrate care se întâlnesc în centrul dodecaedrului rombic. Celelalte 12 celule octaedrice se proiectează pe cele 12 fețe rombice ale dodecaedrului rombic.

Proiecția paralelă cu o celulă în față a anvelopei unui 24-celule este un cuboctaedru. Două dintre celulele octaedrice, cea mai apropiată și mai îndepărtată de-a lungul axei w, se proiectează pe un octaedru ale cărui vârfuri se află în centrul fețelor pătrate ale cuboctaedrului. În jurul acestui octaedru central se află proiecțiile altor 16 celule, formând 8 perechi care se proiectează pe unul dintre cele 8 volume situate între o față triunghiulară a octaedrului central și cea mai apropiată față triunghiulară a cuboctaedrului. Restul de 6 celule se proiectează pe fețele pătrate ale cuboctaedrului. Acest lucru corespunde descompunerii cuboctaedrului într-un octaedru regulat și 8 octaedre neregulate, dar egale, fiecare dintre acestea având forma anvelopei convexe a unui cub cu două vârfuri opuse îndepărtate.

Proiecția paralelă cu o latură în față a anvelopei unui 24-celule este o bipiramidă hexagonală alungită, iar proiecția paralelă cu o față în față a anvelopei unui 24-celule este o biantiprismă hexagonală.

Proiecții în perspectivă[modificare | modificare sursă]

Proiecția în perspectivă cu un vârf în față a anvelopei unui 24-celule în spațiul tridimensional este un hexaedru tetrakis. Aspectul celulelor din această imagine este similar cu imaginea în proiecție paralelă.

Următoarele imagini arată structura proiecției tridimensionale în perspectivă cu o celulă în față a unui 24-celule. Punctul de vedere 4D este amplasat la o distanță de cinci ori mai mare decât raza centrului vârfului 24-celulei.

Proiecție în perspectivă cu o celulă în față
24cell-perspective-cell-first-01.png
În această imagine, cea mai apropiată celulă este cea colorată roșu, iar celelalte celule sunt pe contur. Pentru claritate, celulele care se îndreaptă în altă direcție decât punctul de vedere 4D au fost eliminate.
24cell-perspective-cell-first-02.png
În această imagine, patru dintre cele 8 celule care înconjoară cea mai apropiată celulă sunt colorate verde. Văzută din punctul de vedere a patra celulă se află în spatele celulei centrale (ușor sesizabilă, deoarece celula roșie este semitransparentă).
24cell-perspective-cell-first-03.png
Aici sunt afișate toate cele 8 celule care înconjoară cea mai apropiată celulă, ultimele patru fiind colorate violet.
Aceste imagini nu redau celulele care se îndreaptă în altă direcție decât spre punctul de vedere 4D. Prin urmare, aici sunt afișate doar 9 celule. Pe partea îndepărtată a 24-celulei sunt alte 9 celule într-un aranjament identic. Restul de 6 celule se află pe ecuatorul 24-celulei, fiind în contact cu cele două seturi de celule.
Animații
24-cell.gif
Proiecție 3D a unui 24-celule
executând o rotație simplă
24-cell-orig.gif
Proiecție 3D a unui 24-celule
executând o rotație
24cell section anim.gif
Secțiune animată printr-un 24-celule
 
Alte proiecții
3D stereoscopic projection icositetrachoron.PNG
Proiecție stereoscopică 3D a unui 24-celule
Stereographic polytope 24cell faces.png
Proiecție stereografică

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Proiecții ortogonale
Plan Coxeter F4 B3 / A2 (a) B3 / A2 (b) B4 B2 / A3
Graf 24-cell t0 F4.svg 24-cell t0 B3.svg 24-cell t3 B3.svg 24-cell t0 B4.svg 24-cell t0 B2.svg
Simetrie diedrică [12] [6] [6] [8] [4]

Vizualizări[modificare | modificare sursă]

Un 24-celule este delimitat de 24 de celule octaedrice. În scopul vizualizării, este convenabil ca octaedrul să aibă fețele opuse paralele (elemente pe care le are în comun cu celulele tesseractelor și ale 120-celule). Se pot stivui octaedre față în față într-o linie dreaptă îndoită în a 4-a direcție într-un cerc mare cu o circumferință de 6 celule. Pozițiile celulelor corespund unei descrieri hipersferice. Fie o celulă arbitrară etichetată „polul nord”. Opt cercuri mari meridiane (lungi de două celule) se desfășoară în 3 dimensiuni radial, convergând spre o a 3-a celulă „polul sud”. Acest schelet reprezintă 18 din cele 24 de celule (2 + 8×2). Vezi tabelul de mai jos.

Într-un 24-celule există un alt cerc mare, dualul celui de mai sus. O cale care traversează 6 vârfuri numai de-a lungul laturilor se află în dualul acestui politop, care este el însuși, deoarece este autodual. Acestea sunt geodezice hexagonale descrise mai sus. Se poate urmări cu ușurință această cale într-o redare a secțiunii ecuatoriale cuboctaedrice.

Începând de la polul nord, un 24-celule poate fi construit în 5 straturi pe latitudine. Cu excepția polilor, fiecare strat reprezintă o 2-sferă separată, ecuatorul fiind o mare 2-sferă. Celulele etichetate ecuatorial în tabelul următor se află în interstițiile dintre celulele cercurilor mari meridiane. Celulele „ecuatoriale” ating celulele meridiane cu care sunt în contact pe fețele lor. Se ating unele pe celelalte, iar celulele polare le ating în vârfurile lor. Acest ultim subset de opt celule polare și nemeridiane are aceeași poziție relativă ca și celulele dintr-un tesseract, deși se ating doar la vârfuri în loc de fețe.

O proiecție în perspectivă cu o latură în față, care arată unul din cele patru inele de 6 octaedre din jurul ecuatorului
Nr. stratului Nr. celulelor Descriere Latitudine Regiune
1 1 celulă „Polul nord” Emisfera nordică
2 8 celule Primul strat de celule meridiane 60°
3 6 celule Nemeridian / interstițial 90° Ecuator
4 8 celule Al doilea strat de celule meridiane 120° Emisfera sudică
5 1 celulă Polul sud 180°
Total 24 celule

Cele 24 de celule pot fi împărțite în patru seturi disjuncte de inele din 6 celule aflate în cercuri mari, formând o fibrare Hopf discretă din patru inele interconectate.[27] Un inel este „vertical”, cuprinzând celulele pol și patru celule meridiane. Celelalte trei inele cuprind fiecare două celule ecuatoriale și patru celule meridiane, două din emisfera nordică și două din cea sudică.

De reținut că această cale hexagonală a cercului mare implică un unghiul interior/diedru dintre celulele adiacente de 180 – 360/6 = 120°. Acest lucru sugerează că se pot plasa adiacent exact trei 24-celule într-un plan și se poate forma un fagure cvadridimensional din 24-celule, așa cum a fost descris anterior.

Se poate urmări, de asemenea, o cale pe un cerc mare prin vârfurile opuse ale octaedrelor, cale care are o lungime de patru celule. Acestea sunt geodezicele pătrate de-a lungul a patru coarde 2. Această cale corespunde traversării diagonale prin pătratele din secțiunea transversală a cuboctaedrului. 24-celule este singurul politop regulat în mai mult de două dimensiuni în care se poate traversa un cerc mare doar prin vârfurile opuse (și interiorul) fiecărei celule. Acest cerc mare este autodual. Această cale a fost urmată mai sus prin setul de 8 celule nemeridiane (ecuatoriale) și polare. 24-celule poate divizat în trei subseturi de 8 celule, fiecare având organizarea unui tesseract. Fiecare dintre aceste subseturi poate fi divizat în continuare în două lanțuri de cercuri mari de patru celule, care se întrepătrund. Împreună, aceste trei subseturi produc acum o altă fibrare Hopf discretă cu șase inele.

Construcția a trei grupuri Coxeter[modificare | modificare sursă]

Există două forme inferioare de simetrie ale 24-celulei: simetria B4 sau [3,3,4], obținută prin rectificarea unui 16-celule, simetrie cu 8 și 16 celule octaedrice, colorate în două culori, și simetria D4 sau [31,1,1] obținută prin rectificarea unui semitesseract, simetrie cu câte 8 octaedre, colorate în trei culori.

Trei desfășurate ale 24-celule cu celulele colorate conform simetriilor D4, B4 și F4
Semitesseract rectificat 16-celule rectificat 24-celule regulat
D4, [31,1,1], ordin 192 B4, [3,3,4], ordin 384 F4, [3,4,3], ordin 1152
24-cell net 3-symmetries.png
Trei seturi de 8 celule tetraedrice rectificate Un set de 16 celule tetraedrice rectificate și unul de 8 celule octaedrice Un set de 24 celule octaedrice
Figura vârfului
(Fiecare latură corespunde unei fețe triunghiulare, colorate după simetrii)
Rectified demitesseract verf.png Rectified 16-cell verf.png 24 cell verf.png

Poligoane complexe asociate[modificare | modificare sursă]

Poligonul complex regulat 4{3}4, CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png sau CDel node h.pngCDel 6.pngCDel 4node.png conține cele 24 de vârfuri ale unui 24-celule, și 24 de 4-laturi care corespund pătratelor din centrele a 24 din cele 48 de celule octaedrice. Simetria sa este 4[3]4, ordinul 96.[28]

Politopul complex regulat 3{4}3, CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png sau CDel node h.pngCDel 8.pngCDel 3node.png, în are o reprezentare reală un 24-celule în spațiul cvadridimensional. 3{4}3 are 24 de vârfuri și 24 de 3-laturi. Simetria sa este 3[4]3, ordinul 72.

Figuri asociate în proiecție ortogonală
Nume {3,4,3}, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4{3}4, CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png 3{4}3, CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png
Simetrie [3,4,3], CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, ordin 1152 4[3]4, CDel 4node.pngCDel 3.pngCDel 4node.png, ordin 96 3[4]3, CDel 3node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, ordin 72
Vârfuri 24 24 24
Laturi 96 2-laturi 24 4-laturi 24 3-laturi




Imagine
24-cell t0 F4.svg
24-celule în planul Coxeter F4, cu 24 de vârfuri în două inele de 12 și 96 de laturi
Complex polygon 4-3-4.png
4{3}4, CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png are 24 de vârfuri și 32 de 4-laturi în pătrate, câte 8 colorate aici cu roșu, verde, albastru și galben.
Complex polygon 3-4-3-fill1.png
3{4}3 sau CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png are 24 de vârfuri și 24 de 3-laturi, câte 8 colorate aici roșu, verde și albastru, cu laturile albastre colorate complet.

4-politopuri asociate[modificare | modificare sursă]

Mai multe 4-politopuri uniforme pot fi obținute din 24-celule prin trunchiere:

Pe cele 96 de laturi ale 24-celulelor se pot amplasa la secțiunea de aur cele 96 de vârfuri ale unui 24-celule snub. O modificare analogă a unui octaedru produce un icosaedru, sau „octaedru snub”.

24-celule este unicul politop euclidian regulat convex autodual, care nu este nici un poligon, nici un simplex. Relaxarea condiției de convexitate permite alte două figuri: marele 120-celule și marele 120-celule stelat. Împreună cu el însuși poate forma un compus politopic: compus din două 24-celule (v. mai sus).

Politopuri uniforme asociate[modificare | modificare sursă]

4-politopuri uniforme cu simetrie D4
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
CDel node h.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 hh.pngCDel node h.png
4-demicube t0 D4.svg 4-cube t1 B3.svg 4-demicube t01 D4.svg 4-cube t12 B3.svg 4-demicube t1 D4.svg 24-cell t2 B3.svg 24-cell t23 B3.svg 24-cell h01 B3.svg
{3,31,1}
h{4,3,3}
2r{3,31,1}
h3{4,3,3}
t{3,31,1}
h2{4,3,3}
2t{3,31,1}
h2,3{4,3,3}
r{3,31,1}
{31,1,1}={3,4,3}
rr{3,31,1}
r{31,1,1}=r{3,4,3}
tr{3,31,1}
t{31,1,1}=t{3,4,3}
sr{3,31,1}
s{31,1,1}=s{3,4,3}
Familia politopurilor 24-celule
Nume 24-celule 24-celule trunchiat 24-celule snub 24-celule rectificat 24-celule cantelat 24-celule bitrunchiat 24-celule cantitrunchiat 24-celule runcinat 24-celule runcitrunchiat 24-celule omnitrunchiat
Simbol
Schläfli
{3,4,3} t0,1{3,4,3}
t{3,4,3}
s{3,4,3} t1{3,4,3}
r{3,4,3}
t0,2{3,4,3}
rr{3,4,3}
t1,2{3,4,3}
2t{3,4,3}
t0,1,2{3,4,3}
tr{3,4,3}
t0,3{3,4,3} t0,1,3{3,4,3} t0,1,2,3{3,4,3}
Diagramă
Coxeter
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Diagramă
Schlegel
Schlegel wireframe 24-cell.png Schlegel half-solid truncated 24-cell.png Schlegel half-solid alternated cantitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png Cantel 24cell1.png Bitruncated 24-cell Schlegel halfsolid.png Cantitruncated 24-cell schlegel halfsolid.png Runcinated 24-cell Schlegel halfsolid.png Runcitruncated 24-cell.png Omnitruncated 24-cell.png
F4 24-cell t0 F4.svg 24-cell t01 F4.svg 24-cell h01 F4.svg 24-cell t1 F4.svg 24-cell t02 F4.svg 24-cell t12 F4.svg 24-cell t012 F4.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t013 F4.svg 24-cell t0123 F4.svg
B4 24-cell t0 B4.svg 4-cube t123.svg 24-cell h01 B4.svg 24-cell t1 B4.svg 24-cell t02 B4.svg 24-cell t12 B4.svg 24-cell t012 B4.svg 24-cell t03 B4.svg 24-cell t013 B4.svg 24-cell t0123 B4.svg
B3(a) 4-cube t0 B3.svg 24-cell t01 B3.svg 24-cell h01 B3.svg 24-cell t1 B3.svg 24-cell t02 B3.svg 24-cell t12 B3.svg 24-cell t012 B3.svg 24-cell t03 B3.svg 24-cell t013 B3.svg 24-cell t0123 B3.svg
B3(b) 24-cell t3 B3.svg 24-cell t23 B3.svg 24-cell t2 B3.svg 24-cell t13 B3.svg 24-cell t123 B3.svg 24-cell t023 B3.svg
B2 24-cell t0 B2.svg 24-cell t01 B2.svg 24-cell h01 B2.svg 24-cell t1 B2.svg 24-cell t02 B2.svg 24-cell t12 B2.svg 24-cell t012 B2.svg 24-cell t03 B2.svg 24-cell t013 B2.svg 24-cell t0123 B2.svg

24-celule poate fi obținut și ca 16-celule rectificat:

Politopuri cu simetrie B4
Nume Tesseract Tesseract
rectificat
Tesseract
trunchiat
Tesseract
cantelat
Tesseract
runcinat
Tesseract
bitrunchiat
Tesseract
cantitrunchiat
Tesseract
runcitrunchiat
Tesseract
omnitrunchiat
Diagramă
Coxeter
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Simbol
Schläfli
{4,3,3} t1{4,3,3}
r{4,3,3}
t0,1{4,3,3}
t{4,3,3}
t0,2{4,3,3}
rr{4,3,3}
t0,3{4,3,3} t1,2{4,3,3}
2t{4,3,3}
t0,1,2{4,3,3}
tr{4,3,3}
t0,1,3{4,3,3} t0,1,2,3{4,3,3}
Diagramă
Schlegel
Schlegel wireframe 8-cell.png Schlegel half-solid rectified 8-cell.png Schlegel half-solid truncated tesseract.png Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png Schlegel half-solid bitruncated 8-cell.png Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png
B4 4-cube t0.svg 4-cube t1.svg 4-cube t01.svg 4-cube t02.svg 4-cube t03.svg 4-cube t12.svg 4-cube t012.svg 4-cube t013.svg 4-cube t0123.svg
 
Nume 16-celule 16-celule
rectificat
16-celule
trunchiat
16-celule
cantelat
16-celule
runcinat
16-celule
bitrunchiat
16-celule
cantitrunchiat
16-celule
runcitrunchiat
16-celule
omnitrunchiat
Diagramă
Coxeter
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Simbol
Schläfli
{3,3,4} t1{3,3,4}
r{3,3,4}
t0,1{3,3,4}
t{3,3,4}
t0,2{3,3,4}
rr{3,3,4}
t0,3{3,3,4} t1,2{3,3,4}
2t{3,3,4}
t0,1,2{3,3,4}
tr{3,3,4}
t0,1,3{3,3,4} t0,1,2,3{3,3,4}
Diagramă
Schlegel
Schlegel wireframe 16-cell.png Schlegel half-solid rectified 16-cell.png Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png Schlegel half-solid runcinated 16-cell.png Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid runcitruncated 16-cell.png Schlegel half-solid omnitruncated 16-cell.png
B4 4-cube t3.svg 24-cell t0 B4.svg 4-cube t23.svg 24-cell t1 B4.svg 4-cube t03.svg 4-cube t12.svg 4-cube t123.svg 4-cube t023.svg 4-cube t0123.svg

Teselări simetrice:

Politopuri {3,p,3}
Spațiu S3 H3
Formă Finit Compact Paracompact Necompact
{3,p,3} {3,3,3} {3,4,3} {3,5,3} {3,6,3} {3,7,3} {3,8,3} ... {3,∞,3}
Imagine Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 24cell.png H3 353 CC center.png H3 363 FC boundary.png Hyperbolic honeycomb 3-7-3 poincare.png Hyperbolic honeycomb 3-8-3 poincare.png Hyperbolic honeycomb 3-i-3 poincare.png
Celule Tetrahedron.png
{3,3}
Octahedron.png
{3,4}
Icosahedron.png
{3,5}
Uniform tiling 63-t2.svg
{3,6}
Order-7 triangular tiling.svg
{3,7}
H2-8-3-primal.svg
{3,8}
H2 tiling 23i-4.png
[[{3,∞}
Figura
vârfului
5-cell verf.png
{3,3}
24 cell verf.png
{4,3}
Order-3 icosahedral honeycomb verf.png
{5,3}
Uniform tiling 63-t0.svg
{6,3}
Heptagonal tiling.svg
{7,3}
H2-8-3-dual.svg
{8,3}
H2-I-3-dual.svg
{∞,3}

Note explicative[modificare | modificare sursă]

  1. ^ „24-celule” este o prescurtare a expresiei din limba română „un politop cvadridimensional format din 24 de celule”, plural „două sau mai multe politopuri cvadridimesnsionale formate din câte 24 de celule”, expresii care se acordă corespunzător, deci se vorbește despre „un/acel 24-celule”, nu „o/acea 24-celule”, respectiv „unele/acele 24-celule”', nu „unii/acei 24-celule”. La fel la celelalte politopuri ale căror nume este de forma „n-celule”.
  2. ^ 24-celule este unul dintre cele trei politopuri euclidiene regulate care nu sunt nici poligon, nici simplex. Celelalte două sunt și ele 4-politopuri, dar nu convexe: marele 120-celule stelat și marele 120-celule.
  3. ^ a b c d e Doar câteva politopuri uniforme au această proprietate: în 4 dimensiuni 24-celule și tesseractul, în 3 dimensiuni cuboctaedrul, iar în 2 dimensiuni hexagonul. (Cuboctaedrul este secțiunea transversală ecuatorială a 24-celule, iar hexagonul este secțiunea transversală ecuatorială a cuboctaedrului.) Politopurile echilaterale radial sunt cele care pot fi construite din triunghiuri echilaterale care se întâlnesc în centrul politopului, fiecare contribuind cu două raze și o latură
  4. ^ laturile pătratelor sunt aliniate cu direcțiile axelor de coordonate. De exemplu:
    (  0,–1,  1,  0)   (  0,  1,  1,  0)
    (  0,–1,–1,  0)   (  0,  1,–1,  0)
    este pătratul din planul xy. Laturile pătratelor nu sunt laturi ale 24-celulei, ele sunt diagonale între două vârfuri aflate la 90° distanță unul de altul, astfel că pătratele sunt doar configurații invizibile între 4 din vârfurile 24-celulei.
  5. ^ a b În 4 dimensiuni pot fi reciproc ortogonale până la 6 plane. Spațiul tridimensional are doar 3 axe perpendiculare și 3 plane perpendiculare într-un singur punct. În spațiul cvadridimensional există 4 axe perpendiculare și 6 plane perpendiculare într-un punct (din același motiv pentru care tetraedrul are 6 muchii, nu 4): există 6 combinări de câte 2 dimensiuni din cele 4. Trei astfel de perechi (perechi de axe) se întâlnesc în fiecare vârf al unui 24-celule (din același motiv pentru care trei laturi ale tetraedrului se întâlnesc la fiecare vârf al tetraedrului). Fiecare din cele 6 plane este ortogonal pe fiecare dintre celelalte, singurul cu care nu are în comun o latură (din același motiv pentru care fiecare latură a tetraedrului este ortogonală doar pe una dintre celelalte laturi: singura cu care nu are în comun niciun punct)
  6. ^ Despre două plane plate A și B ale unui spațiu euclidian cvadridimensional se spune că sunt complet ortogonale dacă și numai dacă fiecare dreaptă din A este ortogonală cu fiecare linie din B. În acest caz, planele A și B se intersectează într-un singur punct O, astfel încât dacă o dreaptă din A se intersectează cu o dreaptă din B, acestea se intersectează în O.[e]
  7. ^ a b Două plane în spațiul cvadridimensional pot avea patru poziții reciproce posibile: (1) pot coincide (să fie exact același plan); (2) pot fi paralele (singurul mod în care reușesc să nu se intersecteze deloc); (3) se pot intersecta pe o singură dreaptă, la fel ca două plane neparalele în spațiul tridimensional; sau (4) se pot intersecta într-un singur punct, dacă și numai dacă sunt complet ortogonale[f].
  8. ^ Laturile pătratelor ortogonale ecuatoriale nu sunt aliniate cu planele sistemului de coordonate. Pătratele se află în cele 6 plane ortogonale ale sistemului de coordonate, dar muchiile lor sunt coarde (2) ale pătratelor unitare ale rețelei de coordonate. De exemplu:
    (  0,  0,  1,  0)
    (  0,–1,  0,  0)   (  0,  1,  0,  0)
    (  0,  0,–1,  0)
    este pătratul din planul xy. Se observă că cele 8 coordonate întregi sunt ale vârfurilor celor 6 pătrate ortogonale.
  9. ^ a b c Hexagoanele perpendiculare sunt înclinate în raport cu planele ortogonale ale sistemului de coordonate. Fiecare plan conține doar una din cele 4 axe ale sistemului de coordonate. Hexagonul este format din 3 perechi de vârfuri opuse (trei diametre ale 24 de celule): o pereche opusă de vârfuri cu coordonate întregi (una dintre cele patru axe de coordonate) și două perechi de vârfuri opuse cu coordonate jumătate de întreg (nu pe axele de coordonate). De exemplu:
    (  0,  0,  1,  0)
    (  1/2,–1/2,  1/2,–1/2)   (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
    (–1/2,–1/2,–1/2,–1/2)   (–1/2,  1/2,–1/2,  1/2)
    (  0,  0,–1,  0)
    este un hexagon pe axa „y”. Spre deosebire de pătratele 2, hexagonele sunt de fapt formate din laturi ale 24-celulei, deci sunt caracteristici vizibile ale 24-celulei.
  10. ^ a b Bineînțeles, este dificil de vizualizat patru plane care sunt toate perpendiculare unul pe altul. Ele pot fi văzute în cuboctaedru (o proiecție tridimensională a 24-celule), unde par a fi la 60° unul față de celălalt. În proiecția tridimensională, două din cele 4 hexagoane neortogonale par să se intersecteze în fiecare din cele 12 vârfuri, dar acestea sunt de fapt 16 hexagoane și 24 de vârfuri. În 4 dimensiuni, 4 hexagoane neortogonale se intersectează în fiecare vârf, dar patru hexagoane ortogonale se intersectează numai în centrul lor comun, astfel încât fiecare dintre ele are un set disjunct de 6 din cele 24 de vârfuri.
  11. ^ a b Aceste triunghiuri se află în aceleași plane ortogonale care conțin hexagoanele;[i] două triunghiuri cu lungimea laturii 3 sunt înscrise în fiecare hexagon. De exemplu, în coordonatele cu rază unitară:
    (  0,  0,  1,  0)
    (  1/2,–1/2,  1/2,–1/2)   (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
    (–1/2,–1/2,–1/2,–1/2)   (–1/2,  1/2,–1/2,  1/2)
    (  0,  0,–1,  0)
    sunt două triunghiuri centrale opuse pe axa y, cu fiecare triunghi format de vârfuri alternate. Spre deosebire de hexagoane, triunghiurile 3 nu sunt formate din laturi reale ale 24-celulei, deci sunt caracteristici invizibile ale 24-celulei, cum ar fi pătratele 2.
  12. ^ a b Acestea nu sunt planele ortogonale ale sistemului de coordonate; laturile de lungime 3 ale acestor triunghiuri sunt diagonalele celulelor cubice din 24-celule, dar acele celule cubice (tesseracte) nu sunt aliniate cu rețeaua coordonatelor.
  13. ^ a b Caracteristicile interioare nu sunt considerate elemente ale politopului. De exemplu, centrul unui 24-celule este o caracteristică demnă de remarcat (la fel ca și coardele sale), dar aceste caracteristici interioare nu contează ca elemente în matricea sa de configurare, care conține doar caracteristici elementare (care nu sunt interioare oricărei alte caracteristici, inclusiv politopului în sine). Caracteristicile interioare nu sunt redate în majoritatea diagramelor și ilustrațiilor din acest articol (în mod normal sunt invizibile). În ilustrațiile care prezintă caracteristici interioare, ele sunt redate întotdeauna prin linii punctate, pentru a le distinge de laturi.
  14. ^ a b Vârful central este un vârf canonic, deoarece este echidistant de celelalte vârfuri din a 4-a dimensiune, la fel cum vârful (apexul) unei piramide canonice este echidistant față de celelalte vârfuri ale sale.
  15. ^ Câte opt laturi 1 converg în spațiul tridimensional al vârfurilor figurilor cubice ale vârfurilor 24-celulei și se întâlnesc în centrul vârfului, unde formează 4 drepte care se intersectează acolo. Cele 8 vârfuri ale cubului sunt cele opt cele mai apropiate vârfuri ale 24-celulei. Dreptele sunt geodezice: două segmente de lungime 1 ale unei linii aparent drepte (în spațiul tridimensional al frontierei curbate a 24-celulei) care sunt îndoite în cea de-a 4-a dimensiune într-un cerc mare cu hexagon (în 4-spațiu). Văzut din interiorul acestui 3-spațiu curbat, coturile din hexagoane sunt invizibile. Din exterior (dacă s-ar putea vizualiza 24-celule în 4-spațiu), liniile drepte ar fi văzute îndoindu-se în a 4-a dimensiune în centrele cuburilor, deoarece centrul 24-celulei este deplasat în a 4-a dimensiune, în afara hiperplanului definit de vârfurile cubului. Astfel, cubul vârfului este de fapt o piramidă cubică.
  16. ^ Șase coarde 2 converg în spațiul tridimensional al vârfurilor figurilor cubice ale vârfurilor 24-celulei și se întâlnesc în centrul vârfului, unde formează 3 drepte care se intersectează acolo perpendicular. Cele 8 vârfuri ale cubului sunt cele opt cele mai apropiate vârfuri ale 24-celulei, iar opt laturi 1 converg acolo, dar momentan vor fi ignorate pentru a simplifica vizualizarea. Fiecare dintre cele șase coarde 2 pleacă din centrul acestui cub (vârful 4-dimensional) și trece printr-un centru al unei feței până la centrul cubului adiacent feței, care este un alt vârf al 24-celulei: nu un cel mai apropiat vârf (cele din colțurile cubului), dar unul situat la 90° distanță într-un al doilea strat concentric de șase vârfuri la distanța de 2 care înconjoară primul strat de opt vârfuri de la distanța de 1. Centrul feței prin care trece coarda 2 este punctul median al coardei 2, deci se află în interiorul 24-celulei.
  17. ^ Un 24-celule poate fi divizat în două părți egale prin 6 vârfuri (în orice plan al unui cerc mare cu hexagon) sau prin 4 vârfuri (în orice plan al unui cerc mare cu pătrat). Se poate vedea acest lucru la cuboctaedru (hiperplanul central al 24-celulei), unde există patru cercuri mari cu hexagoane (de-a lungul laturilor) și șase cercuri mari cu pătrate (peste fețele pătrate în diagonală).
  18. ^ Opt coarde 3 converg din colțurile figurii vârfului cubic al 24-celulei și se întâlnesc în centrul acestuia (vârful 24-celulei), unde formează 4 drepte care se intersectează acolo. Fiecare dintre cele opt 3 coarde merge din centrul acestui cub până la centrul unui cub adiacent diagonal (la un vârf), care este un alt vârf al 24-celulei: unul situat la 120° distanță într-un al treilea strat concentric de opt vârfuri la distanța 3, care înconjoară al doilea strat de șase vârfuri, de la distanța 2.
  19. ^ Fiecare pereche de laturi paralele 1 formează cu o pereche de coarde paralele 3 unul din cele 48 de dreptunghiuri, iar fiecare pereche de coarde paralele 2 formează împreună cu altă pereche de coarde paralele 2 unul din cele 18 pătrate.
  20. ^ Fiecare plan al unui cerc mare se intersectează cu celelalte plane de cercuri mari la care nu este ortogonal într-un diametru (4) al 24-celulei. Astfel, două pătrate sau hexagone neortogonale au câte două vârfuri opuse comune, spre deosebire de două poligoane ortogonale din cercurile mari care nu au în comun decât centrul comun. Două triunghiuri neortogonale cu un cerc mare au un singur vârf comun deoarece le lipsesc vârfurile opuse.
  21. ^ a b O modalitate de a vizualiza hiperplanul n-dimensional este ca n-spațiile care pot fi definite prin n + 1 puncte. Un punct este 0-spațiul care este definit de 1 punct. O linie este 1-spațiul care este definit de 2 puncte care nu sunt coincidente. Un plan este 2-spațiul care este definit de 3 puncte care nu sunt coliniare (orice triunghi). În 4-spațiu, un hiperplan tridimensional este 3-spațiul care este definit de 4 puncte care nu sunt coplanare (orice tetraedru). În 5-spațiu, un hiperplan cvadridimensional este 4-spațiul care este definit de 5 puncte care nu sunt cocelulare (orice 5-celule). Aceste simplexuri înpart hiperplanul în două părți (în interiorul și în exteriorul figurii), dar în plus, împart universul (spațiul închizător) în două părți („deasupra” și „dedesubtul” hiperplanului). Cele n puncte mărginesc un simplex finit (față de exterior) și definesc un hiperplan infinit (față de interior).[21] Aceste două diviziuni sunt ortogonale, deci simplexul definitoriu împarte spațiul în șase regiuni: în interiorul simplexului și în hiperplan, în interiorul simplexului dar deasupra sau dedesubtul hiperplanului, în afara simplexului dar în hiperplan și în afara simplexului dar deasupra sau dedesubtul hiperplanului.
  22. ^ Fiecare plan al unei fețe a celulei se intersectează cu celelalte plane ale feței de acest tip care nu este complet ortogonal sau paralel cu o coardă a vârfului său caracteristic. Planele fețelor adiacente ale celulelor cu fețe ortogonale (cum ar fi cuburile) se intersectează pe o latură deoarece nu sunt complet ortogonale.[g] Deși unghiul lor diedru este de 90° în 3-spațiu, ele se află în același hiperplan [u] (în a patra dimensiune sunt mai degrabă coincidente decât perpendiculare); astfel se intersectează într-o dreaptă, așa cum fac planele neparalele în orice 3-spațiu.
  23. ^ Singurele plane prin exact 6 vârfuri ale 24-celulei (fără a lua în considerare vârful central) sunt cele ale celor 16 cercuri mari cu hexagoane. Nu există plane prin exact 5 vârfuri. Există mai multe tipuri de plane prin exact 4 vârfuri: cele 18 2 ale cercurilor mari cu pătrate, cele ale celor 72 1 de fețe pătrate (ale tesseractelor) și 144 1 pe 2 dreptunghiuri. Planele prin exact 3 vârfuri sunt cele ale celor 96 de fețe triunghiulare echilaterale 2 ale 16-celulelor și ale color 96 de fețe triunghiulare echilaterale 1 ale 24-celulei
  24. ^ Figurile cubice ale vârfurilor 24-celulei au fost trunchiate la figuri ale vârfului tetraedrice (v. desenele lui Kepler). Cubul vârfului a dispărut și acum există doar 4 colțuri ale figurii vârfului care înainte avea 8. Patru laturi de teseract converg de la vârfurile tetraedrului și se întâlnesc în centrul acestuia, unde nu se intersectează, deoarece tetraedrul nu are vârfuri opuse.
  25. ^ a b c Nucleul comun este cel din sfera înscrisă a 24-celulei, cu raza 1/2. Rectificarea oricăreia dintre cele trei 16-celule relevă acest 24-celule mai mic, care are un 4-conținut de doar 1/8 (1/16 din cel al 24-celulei). Vârfurile sale se află în centrele celulelor octaedrice ale 24-celulei inițiale, care sunt și centrele fețelor pătrate ale teseractelor și sunt și centrele laturilor 16-celulelor.
  26. ^ Figura cubică a vârfului a 24-celulei a fost trunchiată la o figură a vârfului octaedrică. Cubul vârfului a dispărut și acum există doar 6 colțuri ale figurii vârfului care înainte avea 8. Cele 6 coarde 2 care anterior convergeau din centrele feței cubului converg acum din vârfurile octaedrului; dar, la fel ca înainte, se întâlnesc în centru, unde 3 drepte se intersectează perpendicular. Vârfurile octaedrului sunt situate la 90° în afara cubului dispărut, în noile vârfuri cele mai apropiate; înainte de tăiere, acestea erau vârfuri ale 24-celulei din al doilea strat al vârfurilor înconjurătoare.
  27. ^ Conținutul în 4 dimensiuni al tesseractului a cărui lungime a laturii este 1 este de 1 (prin definiție). Conținutul 24-celulei cu lungimea laturii 1 este de 2, deci jumătate din conținutul său se află în interiorul tesseractelor, iar jumătate se află între anvelopele lor. Fiecare 16-celule (având lungimea laturii 2) cuprinde un conținut de 2/3, lăsând 1/3 între avelopele tesseractelor și cele ale lor.
  28. ^ Între anvelopa 24-celulei și anvelopele a 8-celule sunt cele 8 piramide cubice ale construcției lui Gosset. Între anvelopele 8-celulelor și anvelopele 16-celulelor sunt 16 5-celule, cu vârfurile lor umplând colțurile tesseractului.
  29. ^ a b Dintre cele trei diametre lungi perpendiculare 2 ale celulei octaedrice[19] două dintre ele sunt diagonalele feței pătrate dintre două cuburi; fiecare este o coardă 2 care conectează două vârfuri ale acestor cuburi ale 8-celulei pe o față pătrată, conectează două vârfuri opuse a două tetraedre ale 16-celulelor (înscrise în cuburi) și conectează două vârfuri opuse ale unui octaedru al 24-celulei (diagonal pe două dintre cele trei secțiuni centrale pătrate ortogonale). Al treilea diametru lung perpendicular al octaedrului face exact același lucru (prin simetrie); deci și el conectează două vârfuri ale unei perechi de cuburi pe fața lor pătrată comună (dar o pereche diferită de cuburi, din alt tesseract din acel 24-celule).
  30. ^ a b Deoarece există trei tesseracte suprapuse înscrise în 24-celule, fiecare celulă octaedrică se află pe o celulă cubică dintr-un tesseract (în piramida cubică bazată pe cub, dar nu în volumul cubului) și în două celule cubice ale celorlalte două tesseracte (cu care au în comun volumul lor).[ac]
  31. ^ Acest lucru ar putea părea la început imposibil din punct de vedere al unghiurilor și, într-adevăr, ar fi într-un spațiu tridimensional. Dacă două cuburi stau unul lângă altul într-un spațiu obișnuit tridimensional (de exemplu pe suprafața unei mese într-o cameră obișnuită tridimensională), un octaedru se va potrivi în interiorul lor astfel încât patru din cele șase vârfuri ale sale să fie în cele patru colțuri ale feței pătrate dintre cele două cuburi; dar celelalte două vârfuri octaedrice nu vor fi în alte vârfuri ale cuburilor (vor fi în interiorul volumelor celor două cuburi). În patru dimensiuni, acest lucru nu este mai puțin adevărat! Celelalte două vârfuri ale octaedrului nu se află în vreun vârf al unui cub adiacent unei fețe în același tesseract. Însă în 24-celule nu există doar un singur tesseract (din 8 cuburi) încris, există trei tesseracte suprapuse (din câte 8 cuburi fiecare). Celelalte două vârfuri octaedrice se află în vârfurile altui cub: dar un cub din alt tesseract, suprapus.[ad]
  32. ^ Este important să se vizualizeze razele doar ca caracteristici interioare invizibile ale 24-celulei (linii punctate), deoarece acestea nu sunt laturi ale fagurelui. În mod similar, centrul 24-celulei este gol (nu un vârf al fagurelui).
  33. ^ Spre deosebire de 24-celule și tesseract, 16-celule nu este radial echilateral; prin urmare, 16-celule de două mărimi diferite (lungimea unității muchiei versus raza unității) apar în fagurele cu lungimea laturii o unitate. Cei 24 de 16-celule care se întâlnesc în centrul fiecărui 24-celule au lungimea laturii o unitate și raza 2/2. Cei trei 16-celule înscriși în fiecare 24-celule au lungimea alturii 2 și raza o unitate.
  34. ^ Rotațiile tridimensionale apar în jurul unei axe. Rotațiile în spațiul cvadridimensional pot apărea în jurul unui plan. Deci, în trei dimensiuni se pot plia plane în jurul unei drepte comune (ca atunci când se pliază o desfășurată de 6 pătrate din plan într-un cub), iar în patru dimensiuni se pot plia celule în jurul unui plan comun (ca atunci când se pliază desfășurata de 8 cuburi într-un tesseract). Plierea în jurul unei fețe pătrate înseamnă doar plierea simultană în jurul a două din laturile sale ortogonale; nu există suficient spațiu în trei dimensiuni pentru a face acest lucru, la fel cum nu există suficient spațiu în două dimensiuni pentru a se plia în jurul unei linii (doar suficient pentru a se plia în jurul unui punct).
  35. ^ Există (cel puțin) două tipuri de analogii dimensionale corecte: tipul obișnuit între dimensiunea n și dimensiunea n+1, și tipul mult mai rar și mai puțin evident între dimensiunea n și dimensiunea n+2. Un exemplu al acestuia din urmă este că rotațiile în 4-spații pot avea loc în jurul unui singur punct, la fel cu rotațiile în 2-spații. Altul este regula n-sfereiaria suprafeței sferei din dimensiunea n+ 2 este exact de ori volumul închis de sfera din dimensiunea n, cele mai cunoscute exemple fiind că circumferința unui cerc este de ori 1 și suprafața sferei obișnuite este de ori 2r . Coxeter citează[25] aceasta ca un exemplu în care analogia dimensională pare a eșua ca metodă, dar este de fapt eșecul nostru de a recunoaște dacă o analogie unidimensională sau bidimensională este metoda potrivită.
  36. ^ Rotațiile în patru dimensiuni pot apărea în jurul unui plan, ca atunci când celulele adiacente sunt pliate în jurul planului lor de intersectare (prin analogie cu felul în care fețele adiacente sunt pliate în jurul liniei lor de intersectare).[ah] Dar în patru dimensiuni există încă un alt mod în care pot apărea rotații, numit rotație dublă. Rotațiile duble sunt un fenomen emergent în a patra dimensiune și nu au analogie în trei dimensiuni: plierea fețelor pătrate și plierea celulelor cubice sunt ambele exemple de rotații simple, singurul tip care are loc în mai puțin de patru dimensiuni. În rotațiile tridimensionale, punctele dintr-o linie rămân fixe în timpul rotației, în timp ce orice alt punct se mișcă. În rotațiile simple 4-dimensionale, punctele dintr-un plan rămân fixe în timpul rotației, în timp ce orice alt punct se mișcă. În rotațiile duble 4-dimensionale un punct rămâne fix în timpul rotației și orice alt punct se mișcă (ca într-o rotație bidimensională!).[ai]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Coxeter 1973, p. 118, Chapter VII: Ordinary Polytopes in Higher Space.
  2. ^ Johnson 2018, p. 249, 11.5.
  3. ^ Coxeter 1973, pp. 292-293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions.
  4. ^ Coxeter 1973, p. 302, Table VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}. : see Result column
  5. ^ Coxeter 1973, p. 156, §8.7. Cartesian Coordinates.
  6. ^ Coxeter 1973, pp. 145-146, §8.1 The simple truncations of the general regular polytope.
  7. ^ Coxeter 1973, p. 298, Table V: The Distribution of Vertices of Four-Dimensional Polytopes in Parallel Solid Sections (§13.1); (i) Sections of {3,4,3} (edge 2) beginning with a vertex; see column a.
  8. ^ Coxeter 1973, p. 153, 8.5. Gosset's construction for {3,3,5}. : "In fact, the vertices of {3,3,5}, each taken 5 times, are the vertices of 25 {3,4,3}'s."
  9. ^ Coxeter 1973, p. 304, Table VI(iv) II={5,3,3}. : Faceting {5,3,3}[120𝛼4]{3,3,5} of the 120-cell reveals 120 regular 5-cells.
  10. ^ a b Coxeter 1973, p. 150, Gosset.
  11. ^ Coxeter 1973, p. 148, §8.2. Cesaro's construction for {3, 4, 3}..
  12. ^ Coxeter 1973, p. 302, Table VI(ii) II={3,4,3}, Result column.
  13. ^ Coxeter 1973, pp. 149-150, §8.22. see illustrations Fig. 8.2A and Fig 8.2B.
  14. ^ a b Kepler 1619, p. 181.
  15. ^ van Ittersum 2020, pp. 73-79, §4.2.
  16. ^ Coxeter 1973, p. 269, §14.32. . "For instance, in the case of ...."
  17. ^ Coxeter 1973, pp. 292-293, Table I(ii) The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions. : [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]
  18. ^ Coxeter 1973, p. 150. : "Thus the 24 cells of the {3, 4, 3} are dipyramids based on the 24 squares of the . (Their centres are the mid-points of the 24 edges of the .)"
  19. ^ van Ittersum 2020, p. 79.
  20. ^ Coxeter 1973, p. 12, §1.8. Configurations.
  21. ^ Coxeter 1973, p. 120, §7.2.. : "... any n+1 points which do not lie in an (n-1)-space are the vertices of an n-dimensional simplex.... Thus the general simplex may alternatively be defined as a finite region of n-space enclosed by n+1 hyperplanes or (n-1)-spaces."
  22. ^ van Ittersum 2020, p. 78, §4.2.5.
  23. ^ Coxeter 1973, p. 163. : Coxeter notes that Gosset was apparently the first to remark that the cells of the 24-cell honeycomb {3,4,3,3} are concentric with alternate cells of the tesseractic honeycomb {4,3,3,4}, and that this observation enabled Gosset's method of construction of the complete set of regular polytopes and honeycombs.
  24. ^ Coxeter 1973, p. 156. : "...the chess-board has an n-dimensional analogue."
  25. ^ Coxeter 1973, p. 119, §7.1. Dimensional Analogy. : "For instance, seeing that the circumference of a circle is 2π r, while the surface of a sphere is 4π r 2, ... it is unlikely that the use of analogy, unaided by computation, would ever lead us to the correct expression, 2π 2r 3."
  26. ^ Stillwell 2001, p. 22.
  27. ^ Banchoff 2013, pp. 265–266.
  28. ^ Coxeter 1991.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • la Kepler, Johannes (). Harmonices Mundi. Johann Planck. 
  • en Banchoff, Thomas F. (). „Torus Decompostions of Regular Polytopes in 4-space”. În Senechal, Marjorie. Shaping SpaceAcces gratuit pentru testarea serviciului, necesită altfel abonament. Springer New York. pp. 257–266. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8. 
  • en Coxeter, H.S.M. () [1948]. Regular Polytopes (ed. 3rd). New York: Dover. 
  • en Coxeter, H.S.M. (), Regular Complex Polytopes (ed. 2nd), Cambridge: Cambridge University Press 
  • en Coxeter, H.S.M. (), Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, ed., Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. CoxeterNecesită înregistrare gratuită (ed. 2nd), Wiley-Interscience Publication, ISBN 978-0-471-01003-6 
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • [1] [3,4,3]: Icositetrachoron (22)
  • [2] [4,3,3]: Rectified 16-cell (22)
  • [3] [31,1,1]: Icositetrachoron (22)

Legături externe[modificare | modificare sursă]

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat