5-celule

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
5-celule regulat
(4-simplex)
Schlegel wireframe 5-cell.png
Diagramă Schlegel
(vârfuri și laturi)
Tip4-politop regulat convex
Simbol Schläfli{3,3,3}
Diagramă CoxeterCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Celule5 {3,3} 3-simplex t0.svg
Fețe10 {3} 2-simplex t0.svg
Laturi10
Vârfuri5
Figura vârfului5-cell verf.png
(tetraedru)
Poligon Petriepentagon
Grup CoxeterA4, [3,3,3]
Dualautodual
Proprietățiconvex, izogonal, izotoxal, izoedric
Index uniform1
Figura vârfului: tetraedru

În geometrie 5-celule[a] este un obiect din spațiul cvadridimensional mărginit de 5 celule tetraedrice. Este, de asemenea, cunoscut sub numele de C5.[1] Este 4-simplexul, politopul al lui Coxeter,[2] cel mai simplu posibil 4-politop regulat convex, fiind analogul 4-dimensional al tetraedrului din trei dimensiuni și al triunghiului din două dimensiuni. Un 5-celule este o piramidă 4-dimensională cu o bază tetraedrică.

Un 5-celule regulat este mărginit de 5 tetraedre regulate și este unul dintre cele șase 4-politopuri regulate convexe, având simbolul Schläfli {3,3,3}.

5-celule este o soluție la problema: Faceți 10 triunghiuri echilaterale, toate de aceeași dimensiune, folosind 10 bețișoare identice, unde fiecare latură a fiecărui triunghi este exact un singur bețișor”. Nu există nicio soluție în trei dimensiuni.

Anvelopa convexă a unui 5-celule și a dualului său (presupunând că sunt congruente) este 30-celule disfenoidal, dual al 5-celule bitrunchiat.

Geometrie[modificare | modificare sursă]

5-celule este un politop autodual, iar figura vârfului său este un tetraedru. Intersecția sa maximă cu spațiul tridimensional este prisma triunghiulară. Unghiul diedru al acestuia este cos−1(1/4), sau aproximativ 75,52°.

Configurație[modificare | modificare sursă]

Matricea sa de configurație este prezentată mai jos. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și [[celulă (geometrie) |celulelor. Numerele diagonale spun câte din fiecare element apar în întregul 5-celule. Celelalte numere spun câte elemente ale coloanei apar în sau la elementul rândului. Deoarece este un politop autodual, matricea sa este identică după rotirea sa cu 180 de grade.[3]

Construcție[modificare | modificare sursă]

5-celule poate fi construit dintr-un tetraedru adăugând un al 5-lea vârf astfel încât să fie echidistant de toate celelalte vârfuri ale tetraedrului. (5-celule este o piramidă 4-dimensională cu o bază tetraedrică și patru fețe tetraedrice.)

Cel mai simplu set ce coordonate este: (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (φ,φ,φ,φ), cu lungimea laturii de 22, unde φ este secțiunea de aur.[4]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui 5-celule regulat centrate în origine având lungimea laturii 2 și raza 1,6 sunt:

Alt set de coordonate centrate în origine în 4-spațiu poate fi văzut ca o hiperpiramidă cu o bază tetraedrică regulată în 3-spațiu, cu lungimea laturii 22 și raza 3,2:

Vârfurile unui 4-simplex (cu latura 2 și raza 1) pot fi construite mai simplu pe un hiperplan în 5-spațiu, ca permutări (distincte) de (0,0,0,0,1) sau (0,1,1,1,1); în aceste poziții este o fațetă, a unui 5-ortoplex (sau a 5-simplexului rectificat).

Elicea Boerdijk–Coxeter[modificare | modificare sursă]

Desfășurata 2D și poligonul Petrie al 5-celule

Un 5-celule poate fi construit ca elicea Boerdijk–Coxeter a cinci tetraedre înlănțuite, pliate într-un inel 4-dimensional. Cele 10 fețe triunghiulare pot fi văzute într-o desfășurată 2D într-o pavare triunghiulară, cu 6 triunghiuri în jurul fiecărui vârf, deși plierea în 4-spațiu face ca laturile să coincidă. Laturile violete sunt poligonul Petrie al 5-celulei.

Proiecții[modificare | modificare sursă]

Un 5-celule se proiectează în planul Coxeter A4 ca un pentagon regulat și pentagramă.
Format:4-simplex Coxeter plane graphs

Proiecții în tridimensional
Stereographic polytope 5cell.png
Proiecție stereografică tip cadru de sârmă (laturi proiectate pe o 3-sferă)
5-cell.gif
Proiecție 3D a unui 5-celule executând o rotație simplă
Pentatope-vertex-first-small.png
Proiecția unui 5-celule cu un vârf în față are o anvelopă vizibilă tetraedrică. Vârful cel mai apropiat al 5-celule este cel din centrul tetraedrului, cu roșu. Cea mai îndepărtată celulă se proiectează pe anvelopa tetraedrică propriu-zisă, în timp ce celelalte 4 celule se proiectează pe cele 4 regiuni tetraedrice, aplatizate (degenerate în proiecția 3D), care înconjoară vârful central.
5cell-edge-first-small.png
Proiecția unui 5-celule cu o latură în față este o dipiramidă triunghiulară a anvelopei. Cea mai apropiată latură (cu roșu) se proiectează pe axa dipiramidei, cele trei celule care o înconjoară unt proiectate în 3D ca 3 volume tetraedrice dispuse în jurul acestei axe la 120 de grade unul față de celălalt. Restul de 2 celule se proiectează pe cele două jumătăți ale dipiramidei și se află pe fața îndepărtată a politopului.
5cell-face-first-small.png
Proiecția unui 5-celule cu o față în față are, de asemenea, o anvelopă vizibilă de dipiramidă triunghiulară. Cea mai apropiată față este colorată în roșu. Cele două celule care se întâlnesc pe această față se proiectează către cele două jumătăți ale dipiramidei. Celelalte trei celule se află pe partea îndepărtată a politopului 4D și pentru claritate sunt eliminate din imagine. Acestea sunt dispuse în jurul axei centrale a dipiramidei, la fel ca în proiecția cu i latură în față.
5cell-cell-first-small.png
Proiecția unui 5-celule cu o celulă în față are o anvelopă tetraedrică. Cea mai apropiată celulă se proiectează pe întreaga anvelopă și în 4D ascunde celelalte 4 celule; prin urmare, nu sunt redate aici.

5-celule neregulat[modificare | modificare sursă]

Există multe forme de simetrie inferioară, inclusiv cele ale figurii vârfului politopului uniform:

Simetrie [3,3,3]
Ordinul 120
[3,3,1]
Ordinul 24
[3,2,1]
Ordinul 12
[3,1,1]
Ordinul 6
[5,2]+
Ordinul 10
Nume 5-celule regulat Piramidă tetraedrică Piramidă triunghiular-piramidală Hiperdisfenoid pentagonal
Schläfli {3,3,3} {3,3} ∨ ( ) {3} ∨ { }
Exemple,
Figura
vârfului
5-simplex verf.png
5-simplex
Truncated 5-simplex verf.png
5-simplex trunchiat
Bitruncated 5-simplex verf.png
5-simplex bitrunchiat
Canitruncated 5-simplex verf.png
5-simplex cantitrunchiat
Omnitruncated 4-simplex honeycomb verf.png
Fagure 4-simplex omnitrunchiat

Piramida tetraedrică este un caz particular al unui 5-celule, o piramidă poliedrică având drept bază un tetraedru regulat într-un hiperplan din 3-spațiu și drept apex punctul de deasupra hiperplanului. Cele patru laturi ale piramidei sunt formate din celule tetraedrice.

Multe 5-politopuri uniforme figuri ale vârfului piramida tetraedrică:

Simetrie [3,3,1], ordinul 24
Diagramă
Schlegel
5-cell prism verf.png Tesseractic prism verf.png 120-cell prism verf.png Truncated 5-simplex verf.png Truncated 5-cube verf.png Truncated 24-cell honeycomb verf.png
Nume
Coxeter
{ }×{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{ }×{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{ }×{5,3,3}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t{3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t{4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t{3,4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Alte 5-politopuri uniforme au figuri ale vârfurilor 5-celule neregulate. Simetria unei figuri a vârfului unui politop uniform este notată prin eliminarea nodurilor inelate ale diagramei Coxeter.

Simetrie [3,2,1], ordinul 12 [3,1,1], ordinul 6 [2+,4,1], ordinul 8 [2,1,1], ordinul 4
Diagramă
Schlegel
Bitruncated 5-simplex verf.png Bitruncated penteract verf.png Canitruncated 5-simplex verf.png Canitruncated 5-cube verf.png Bicanitruncated 5-simplex verf.png Bicanitruncated 5-cube verf.png
Nume
Coxeter
t12α5
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t12γ5
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t012α5
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t012γ5
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
t123α5
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t123γ5
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Simetrie [2,1,1], ordinul 2 [2+,1,1], ordinul 2 [ ]+, ordinul 1
Diagramă
Schlegel
Runcicantitruncated 5-simplex verf.png Runcicantitruncated 5-cube verf.png Runcicantitruncated 5-orthoplex verf.png Omnitruncated 5-simplex verf.png Omnitruncated 5-cube verf.png
Nume
Coxeter
t0123α5
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0123γ5
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0123β5
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
t01234α5
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t01234γ5
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Compuși[modificare | modificare sursă]

Compus de două 5-celule

Compusul de două 5-celule în configurație duală poate fi văzut ca proiecție în planul Coxeter A5, cu vârfurile și laturile celor două 5-celule colorate roșu, respectiv albastru. Acest compus are simetria de ordinul 240 [[3,3,3]]. Intersecția acestor două 5-celule este un 5-celule bitrunchiat uniform. CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png = CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes 10l.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes 01l.png.

Acest compus poate fi văzut ca analogul 4D al hexagramei 2D {62} și al compusului de două tetraedre 3D.

Politopuri și faguri asociați[modificare | modificare sursă]

5 celule este cel mai simplu dintre cele 9 4-politopuri uniforme construite din grupul Coxeter [3,3,3].

Schläfli {3,3,3} t{3,3,3} r{3,3,3} rr{3,3,3} 2t{3,3,3} tr{3,3,3} t0,3{3,3,3} t0,1,3{3,3,3} t0,1,2,3{3,3,3}
Diagramă
Coxeter
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Diagramă
Schlegel
Schlegel wireframe 5-cell.png Schlegel half-solid truncated pentachoron.png Schlegel half-solid rectified 5-cell.png Schlegel half-solid cantellated 5-cell.png Schlegel half-solid bitruncated 5-cell.png Schlegel half-solid cantitruncated 5-cell.png Schlegel half-solid runcinated 5-cell.png Schlegel half-solid runcitruncated 5-cell.png Schlegel half-solid omnitruncated 5-cell.png
Figuri 1k2 în n dimensiuni
Spațiu Finit Euclidian Hiperbolic
n 3 4 5 6 7 8 9 10
Grup
Coxeter
E3=A2A1 E4=A4 E5=D5 E6 E7 E8 E9 = = E8+ E10 = = E8++
Diagramă
Coxeter
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01l.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Simetrie
(ordin)
[3−1,2,1] [30,2,1] [31,2,1] [[32,2,1]] [33,2,1] [34,2,1] [35,2,1] [36,2,1]
Grup
(ordin)
12 120 1 920 103 680 2 903 040 696 729 600
Graf Trigonal hosohedron.png 4-simplex t0.svg Demipenteract graph ortho.svg Up 1 22 t0 E6.svg Up2 1 32 t0 E7.svg Gosset 1 42 polytope petrie.svg - -
Nume 1−1,2 102 112 122 132 142 152 162
Figuri 2k1 în n dimensiuni
Spațiu Finit Euclidian Hiperbolic
n 3 4 5 6 7 8 9 10
Grup
Coxeter
E3=A2A1 E4=A4 E5=D5 E6 E7 E8 E9 = = E8+ E10 = = E8++
Diagramă
Coxeter
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.png CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Simetrie
(ordin)
[3−1,2,1] [30,2,1] [[31,2,1]] [32,2,1] [33,2,1] [34,2,1] [35,2,1] [36,2,1]
Grup
(ordin)
12 120 384 51 840 2 903 040 696 729 600
Graf Trigonal dihedron.png 4-simplex t0.svg 5-cube t4.svg Up 2 21 t0 E6.svg Up2 2 31 t0 E7.svg 2 41 t0 E8.svg - -
Nume 2−1,1 201 211 221 231 241 251 261

Din secvența 4-politopurilor regulate fac parte: tesseractul {4,3,3} și 120-celule {5,3,3} din 4-spațiul euclidian și fagurele pavare hexagonală {6,3,3} din spațiul hiperbolic. Toate acestea au ca figură a vârfului tetraedrul.

5-celule este unul dintre cele 4-politopuri regulate cu celule tetraedrice, împreună cu 16-celule {3,3,5} și 600-celule {3,3,5} din spațiul euclidian. Fagurele tetraedric de ordinul 6 {3,3,6} din spațiul hiperbolic are și el celule tetraedrice.

Politopuri {3,3,p}
Spațiu S3 H3
Formă Finit Paracompact Necompact
Nume {3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{3,3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
{3,3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{3,3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel label4.png
... {3,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
Imagine Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 600cell.png H3 336 CC center.png Hyperbolic honeycomb 3-3-7 poincare cc.png Hyperbolic honeycomb 3-3-8 poincare cc.png Hyperbolic honeycomb 3-3-i poincare cc.png
Figura
vârfului
5-cell verf.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
16-cell verf.png
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
600-cell verf.png
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t2.svg
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png
Order-7 triangular tiling.svg
{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H2-8-3-primal.svg
{3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel label4.png
H2 tiling 23i-4.png
{3,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
Politopuri {3,p,3}
Spațiu S3 H3
Formă Finit Compact Paracompact Necompact
{3,p,3} {3,3,3} {3,4,3} {3,5,3} {3,6,3} {3,7,3} {3,8,3} ... {3,∞,3}
Imagine Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 24cell.png H3 353 CC center.png H3 363 FC boundary.png Hyperbolic honeycomb 3-7-3 poincare.png Hyperbolic honeycomb 3-8-3 poincare.png Hyperbolic honeycomb 3-i-3 poincare.png
Celule Tetrahedron.png
{3,3}
Octahedron.png
{3,4}
Icosahedron.png
{3,5}
Uniform tiling 63-t2.svg
{3,6}
Order-7 triangular tiling.svg
{3,7}
H2-8-3-primal.svg
{3,8}
H2 tiling 23i-4.png
[[{3,∞}
Figura
vârfului
5-cell verf.png
{3,3}
24 cell verf.png
{4,3}
Order-3 icosahedral honeycomb verf.png
{5,3}
Uniform tiling 63-t0.svg
{6,3}
Heptagonal tiling.svg
{7,3}
H2-8-3-dual.svg
{8,3}
H2-I-3-dual.svg
{∞,3}
Faguri regulați {p,3,p}
Spațiu S3 E3 H3
Formă Finit Afin Compact Paracompact Necompact
Nume {3,3,3} {4,3,4} {5,3,5} {6,3,6} {7,3,7} {8,3,8} ...{∞,3,∞}
Imagine Stereographic polytope 5cell.png Cubic honeycomb.png H3 535 CC center.png H3 636 FC boundary.png Hyperbolic honeycomb 7-3-7 poincare.png Hyperbolic honeycomb 8-3-8 poincare.png Hyperbolic honeycomb i-3-i poincare.png
Celule Tetrahedron.png
{3,3}
Hexahedron.png
{4,3}
Dodecahedron.png
{5,3}
Uniform tiling 63-t0.svg
{6,3}
Heptagonal tiling.svg
{7,3}
H2-8-3-dual.svg
{8,3}
H2-I-3-dual.svg
{∞,3}
Figura
vârfului
5-cell verf.png
{3,3}
Cubic honeycomb verf.png
{3,4}
Order-5 dodecahedral honeycomb verf.png
{3,5}
Uniform tiling 63-t2.svg
{3,6}
Order-7 triangular tiling.svg
{3,7}
H2-8-3-primal.svg
{3,8}
H2 tiling 23i-4.png
{3,∞}

Note explicative[modificare | modificare sursă]

  1. ^ „5-celule” este o prescurtare a expresiei din limba română „un politop cvadridimensional format din 5 celule”, plural „două sau mai multe politopuri cvadridimesnsionale formate din câte 5 celule”, expresii care se acordă corespunzător, deci se vorbește despre „un/acel 5-celule”, nu „o/acea 5-celule”, respectiv „unele/acele 5-celule”', nu „unii/acei 5-celule”. La fel la celelalte politopuri ale căror nume este de forma „n-celule”.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Norman Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.5 Spherical Coxeter groups, p. 249
  2. ^ Coxeter 1973, p. 120, §7.2. see illustration Fig 7.2A.
  3. ^ Coxeter 1973, p. 12, §1.8. Configurations.
  4. ^ Coxeter 1991, p. 30, §4.2. The Crystallographic regular polytopes.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
  • en H.S.M. Coxeter:
    • Coxeter, H.S.M. (). Regular Polytopes (ed. 3rd). New York: Dover. 
      • p. 120, §7.2. see illustration Fig 7.2A
      • p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
    • Coxeter, H.S.M. (), Regular Complex Polytopes (ed. 2nd), Cambridge: Cambridge University Press 
    • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6
      • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)
  • en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
    • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)

Legături externe[modificare | modificare sursă]

 v  d  m Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10
Familie An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Poligoane regulate Triunghi Pătrat p-gon Hexagon Pentagon
Poliedre uniforme Tetraedru OctaedruCub Semicub DodecaedruIcosaedru
4-politopuri uniforme 5-celule 16-celuleTesseract Semitesseract 24-celule 120-celule600-celule
5-politopuri uniforme 5-simplex 5-ortoplex5-cub 5-semicub
6-politopuri uniforme 6-simplex 6-ortoplex6-cub 6-semicub 122221
7-politopuri uniforme 7-simplex 7-ortoplex7-cub 7-semicub 132231321
8-politopuri uniforme 8-simplex 8-ortoplex8-cub 8-semicub 142241421
9-politopuri uniforme 9-simplex 9-ortoplex9-cub 9-semicub
10-politopuri uniforme 10-simplex 10-ortoplex10-cub 10-semicub
n-politopuri uniforme n-simplex n-ortoplexn-cub n-semicub 1k22k1k21 n-politop pentagonal
Topicuri: Familii de politopuriPolitop regulat