Demonul lui Maxwell

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Demonul lui Maxwell este o fiinţă imaginară, inteligentă, de dimensiuni moleculare, care îşi permite să încalce principiul al doilea al termodinamicii. A fost imaginat de James Clerk Maxwell În cartea sa "Theory of Heat" („Teoria Căldurii”). Denumirea de „demon” a fost introdusă de William Thomson, lord Kelvin, pentru a reda caracterul provocator şi supranatural al activităţii acestei fiinţe imaginare. Problemele teoretice ridicate de „demon” se bucură în prezent de atenţie (o colecţie a articolelor importante şi o introducere amănunţită se găsesc în Ref.1)

Cuprins

1 Principiul al doilea al termodinamicii
2 Demonul presiunii
3 Scăderea entropiei de către demon
4 Aparatul lui Szilard
5 Soluţia lui Brillouin
6 Principiul lui Landauer
7 Funcţionarea demonului după Charles Bennett
8 Dezvoltări recente
9 Bibliografie

[modifică] Principiul al doilea al termodinamicii

Pentru detalii, vezi: Termodinamică.

Una din formulările principiului al doilea al termodinamicii este: Nici un sistem nu poate produce un lucru mecanic net asupra exteriorului ca urmare a unui proces ciclic în care schimbă căldură cu un singur rezervor. Conţinutul intuitiv este că nu se poate transforma direct o formă „degradată” de energie - căldura - într-una „dirijată” - lucrul mecanic.

Un „rezervor” - subînţeles „de căldură la temperatura T” - este un sistem mult mai mare decât cel considerat, în contact termic cu acesta şi aflat el insuşi în echilibru termic la temperatura T. Sistemul studiat este în echilibru termic cu rezervorul atunci când şi lui i se poate atribui temperatura T.

O formulare echivalentă a principiului este: în decursul oricărui proces natural entropia unui sistem izolat termic nu poate să scadă. Reamintim:

(i) dacă un corp la temperatura T primeşte o cantitate de căldură Q, fără să îşi modifice temperatura, entropia sa creşte cu
${\Delta\ S = Q/T}$ şi
(ii) entropia a n moli de gaz perfect, ocupând volumul V la temperatura T, cu ecuaţia de stare
$p V = n R T \,$
este:
$S = \frac{3}{2} n\, R \ln T + n\, R \ln \frac{V}{n} + const.$ ,
unde R este constanta gazelor perfecte.

Spre sfârşitul secolului al XIX-lea, devenise evident că principiul al doilea - spre deosebire de primul - are o natura statistică şi - într-un sens care trebuie precizat - este valabil numai „cu foarte mare probabilitate”.

[modifică] Demonul presiunii

Imaginăm un gaz închis într-un recipient, aflat în echilibru în contact cu un rezervor de căldură la temperatura T; separăm recipientul în două părţi printr-o partiţie, în care se află o mică deschidere, de dimensiuni moleculare; aceasta poate fi închisă cu un obturator, a cărui manipulare implică o cantitate neglijabilă de energie. Discuţia ignoră orice dificultăţi cuantice. Evident, presiunea gazului în cele două compartimente este aceeaşi. Demonul se află lângă obturator, de o parte a peretelui şi, ori de câte ori o moleculă a gazului se apropie din partea sa de deschidere, o lasă să treacă prin ea. În felul acesta, numărul de molecule aflate în compartimentul în care se află demonul scade cu timpul iar între cele două încăperi apare o diferenţă de presiune. Dacă îngăduim partiţiei să devină mobilă ca parte a unui piston, ea se va deplasa din cauza diferenţei de presiune şi va putea astfel „face un lucru mecanic asupra exteriorului” (ridică o mică greutate, comprimă un arc etc.). Mişcarea se opreşte - dacă o presupunem indefinit lentă - în momentul în care presiunile în cele două compartimente se egalizează. După aceasta, peretele este îndepărtat şi repus în poziţia iniţială. Lucrul mecanic necesar acestei ultime operaţii poate fi făcut oricât de mic. Cu aceasta sistemul a parcurs un ciclu - a revenit la starea iniţială - şi a efectuat un lucru mecanic; energia necesară pentru aceasta a căpătat-o de la rezervorul de căldură: temperatura gazului este la sfârşit tot T. Dar, datorită activităţii pline de răbdare a demonului, principiul al doilea al termodinamicii a fost încălcat: căldura de la un singur rezervor a fost transformată în lucru mecanic.

Demonul temperaturii

Demonul descris aici (al presiunii) este uşor diferit de cel descris în multe cărţi, de exemplu Ref.2, cel „al temperaturii”, care separă moleculele rapide de cele încete într-un recipient izolat termic.

[modifică] Scăderea entropiei de către demon

Recipientul în care se află demonul formează împreună cu rezervorul un sistem izolat. În primul pas al procesului, demonul creează o diferenţă de presiune între cele două compartimente, micşorând numărul de molecule de gaz din compartimentul său. Se poate verifica din formula de mai sus că entropia gazului a scăzut fără să aibă loc un schimb de căldură cu rezervorul. În pasul al doilea o anumită cantitate de căldură Q este preluată de la rezervor şi transformată în lucru mecanic. Îndepărtarea partiţiei şi repunerea ei în poziţia iniţială nu au nici un efect termodinamic. La sfârşit, starea gazului este aceeaşi cu cea de la început, deci şi entropia sa e neschimbată: rezervorul însă a pierdut entropia Q/T transmisă gazului. În concluzie, entropia totală a universului a scăzut cu Q/T datorită activităţii demonului.

Această încălcare a principiului al doilea datorită unei activităţi „inteligente” este stranie: ea nu exploatează fluctuaţiile mărimilor termodinamice prevăzute de mecanica statistică ci pare să poată fi efectuată în mod sistematic. La prima vedere, activitatea demonului ar putea fi săvârşită şi de un automat; pe de altă parte, ne aşteptăm ca un demon neînsufleţit să fie complet supus principiilor termodinamicii , iar activitatea sa să nu le poată încălca. Deci trebuie să existe un element în activitatea unui demon automat care să împiedice scăderea entropiei. Asupra naturii acestui element domneşte până azi un dezacord.

[modifică] Aparatul lui Szilard

Pentru a reduce problema demonului la „esenţa” ei, Szilard a introdus în 1929 (Ref.3) abstracţiunea unui gaz constând într-o singura moleculă (fizica statistică nu pune o limită principială numărului de molecule ale unui gaz, atâta timp cât ele nu interacţionează între ele). Gazului unimolecular i se pot atribui toate funcţiile termodinamice ale unui gaz normal; în particular are o energie a cărei medie este menţinută constantă prin interacţiune cu un rezervor de căldură, dar are proprietatea specială că poate fi comprimat la jumătate din volumul său fără lucru mecanic: este suficient să introducem în recipientul care îl conţine un perete despărţitor: molecula se află sau de o parte sau de cealaltă a pistonului, deci este „comprimată”, fără lucru mecanic, la un volum mai mic: nu ştim însă de ce parte. Demonul imaginat de Szilard face întâi o măsurătoare şi stabileşte de ce parte a peretelui se găseşte molecula; după ce a căpătat această informaţie, transformă (cu oricât de puţin consum de energie) peretele într-un piston care, de pe urma diferenţei de presiune, poate efectua un lucru mecanic asupra exteriorului. Astfel molecula transformă căldura Q primită de la rezervor - care îi menţine energia medie constantă - în lucru mecanic. După ce pistonul a ajuns la capăt, un perete despărţitor este din nou introdus şi procesul continuă.

Privim acum evoluţia entropiei în acest proces. Interesează numai termenul referitor la volum: chiar după introducerea peretelui despărţitor,

${S=(R/N) \ln V + const = k \ ln V + const}$

unde N este numărul lui Avogadro, iar k este constanta lui Boltzmann. După măsurătoare, deoarece ştim - o dată cu demonul - unde se află molecula,

${S=k \ln \frac{V}{2} + const}$ .

Deci, în momentul în care rezultatul măsurătorii este cunoscut demonului, entropia totală a scăzut cu $k ln2$ . Dacă principiul al doilea al termodinamicii se poate aplica sistemului simplu format din demon şi încăperea cu o moleculă (ceea ce nu este necontestat), trebuie să concludem că:

sau (i) procesul măsurătorii duce la o creştere a entropiei de $k ln2$
sau (ii) entropia memoriei demonului creşte cu $k ln2$ .

În lucrarea sa din 1929, Szilard a optat pentru prima soluţie, după care orice act binar de măsurare (stabilirea dacă molecula este în stânga sau în dreapta) reprezintă un proces ireversibil şi este legat de o creştere a entropiei cu cel puţin $k ln2$ , adică de transmiterea către rezervorul de căldură a unei cantităţi de energie mai mare sau egală cu $k T ln2$ . În limbaj modern, informaţia obţinută prin măsurătoarea demonului este de 1 bit; informaţia termodinamică este numărul de biţi X $(k ln2)$ .

[modifică] Soluţia lui Brillouin

Fără să existe o demonstraţie, această concluzie a fost general acceptată, parţial din cauza caracterului ei „moral”: pentru a câştiga un bit de informaţie (adică k ln 2) la temperatura T, trebuie cheltuită cel puţin kT ln 2 energie. O demonstraţie generală a acestei afirmaţii nu numai că nu există, dar ea este chiar contestată. Brillouin a descris un gen de măsurători în care această limită este respectată şi a justificat astfel de ce demonul nu încalcă principiul al doilea când recurge la ele (Ref.4).

În analiza sa, Brillouin presupune că demonul îşi începe acţiunea după ce „vede” unde se află molecula. „A vedea” înseamnă că cel puţin o cuantă de lumină provenind de la o sursă luminoasă aflată în interiorul încăperii este împrăştiată de moleculă şi ajunge pe retina demonului. Împreună cu demonul şi gazul la temperatura T se găseşte în interiorul încăperii, în echilibru cu pereţii ei (şi cu retina demonului), şi radiaţie electromagnetică, a cărei energie este distribuită după frecvenţe corespunzător temperaturii T, conform formulei lui Planck :

${u(\nu) = \frac{8 \pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{\exp(h \nu /kT)-1}}$ .

Pentru a „vedea” o moleculă, retina trebuie să fie impresionată de o cuantă cu o energie $h ν$ sensibil diferită de valoarea medie dată de această formulă (ca.0,9 kT). Aceasta se poate obţine de la o sursă de radiaţie cu o temperatură $T 1$ mai înaltă, inclusă împreună cu o baterie în încăpere: $T 1 = C T, C > 1$ . Să presupunem că frecvenţa $ν 0$ a acesteia este astfel încât $h ν 0 = k T 1$ ; atunci pierderea de entropie prin emiterea ei de către filamentul unui bec la temperatura $T 1 = C T, C > 1$ , este $h ν 0 / T 1 = k$ iar creşterea de entropie prin absorbţia pe retina demonului este $h ν 0 / T = C k$ ; deci entropia se schimba cu $k (C - 1) > k ln2$ , daca $C > 1.7$ . În cap.13 al cărţii sale, Brillouin prezintă o discuţie foarte detaliată a acestui proces şi aduce argumente pentru semnificaţia specială a factorului $ln2$ . După aceste argumente, ar pare că mecanica cuantică ar fi importantă pentru „salvarea” principiului al doilea al termodinamicii. Remarcăm că, în soluţia lui Brillouin, memoria demonului nu joacă nici un rol.

[modifică] Principiul lui Landauer

Considerăm acum alternativa (ii) de „salvare” a principiului al doilea în aparatul lui Szilard şi privim memoria demonului ca fiind o parte integrală a sistemului, a cărei entropie trebuie şi ea considerată de către un observator exterior. Memoria o socotim ca fiind compusă din celule capabile de a lua două stări (0 şi 1), în analogie cu un calculator. Când memoria este „vidă”, toate celulele se află în starea 0 (prin convenţie). O celulă poate fi privită ca un corp solid având toate gradele de libertate microscopice obişnuite la care se adaugă cele două stări posibile 0 şi 1. Într-o lucrare din 1961 (Ref.5), R.Landauer a argumentat că orice operaţie de ştergere şi reiniţializare a unei celule la temperatura T trebuie să fie însoţita de un transfer de căldură către exterior de $k T ln2$ . Mai mult, orice operaţie logic ireversibilă a calculatorului (dupa efectuarea căreia nu se mai poate deduce starea anterioară a celulei) presupune o astfel de ştergere şi reiniţializare a celulei: de aici „principiul lui Landauer”: ireversibilitatea logică a unei operaţii implică un transfer de căldură cel puţin egal cu $k T ln2$ de la calculator către rezervorul de căldură. De aici apare consecinţa că, pentru a reduce costurile energetice ale unui calcul la minimum, acesta trebuie astfel aranjat încât fiecare pas al său să fie reversibil. Modul în care se pot obţine versiuni reversibile pentru un program oarecare este discutat în Ref.6. Această observaţie arată că nu există limite inferioare energetice principiale pentru efectuarea unui calcul.(Ref.7)

Un argument (superficial) pentru principiul lui Landauer este următorul: dacă cele doua stări 0 şi 1 sunt egal probabile, ele contribuie un termen de $k ln2$ la entropia celulei. După reiniţializare, celula se află în starea „0”. Deci contribuţia la entropie este zero. Principiul al doilea al termodinamicii interzice însă scăderea entropiei unui sistem izolat şi deci singura soluţie este că entropia rezervorului a crescut în timpul acestei operaţii cu $k ln2$ . Deci acesta a primit de la sistem o cantitate de căldură $k T ln2$ . Există însă o dificultate: deoarece este vorba de celulele unui calculator, care produce deterministic conţinutul celulelor pornind de la un conţinut iniţial cunoscut, deci de entropie zero, se poate obiecta că nu se şterge la sfârşit un conţinut aleatoriu (0 şi 1 egal probabile), ci unul bine determinat. Astfel, scăderea de entropie prin reiniţializare ar fi de fapt zero. Obiecţii legate de aceasta au fost într-adevăr ridicate(Ref.8,9). Răspunsul (Ref.10) este că procedura de reiniţializare trebuie să fie independentă de conţinutul celulei; conţinutul ei trebuie mai întâi şters, ceea ce constă în punerea ei într-o stare de „uitare”, în care 0 şi 1 sunt egal probabile. Dăm un exemplu în paragraful următor.

[modifică] Funcţionarea demonului după Charles Bennett

Principiul lui Landauer a dus la o nouă descriere a modului de funcţionare a demonului. Promotorul acestui mod de a vedea lucrurile este Charles Bennett (Ref.11). Ideea este că, o dată ce am inclus memoria demonului în sistemul studiat, parcurgerea unui ciclu include şi reiniţializarea ei. Dar această operaţie este legată de un transfer de căldură de $k T ln2$ către rezervor, exact ceea ce demonul a preluat pentru a produce lucru mecanic. Aceasta nu o poate face decât consumând o energie $k T ln2$ , adică exact lucrul produs înainte. Deci principiul al doilea este respectat.

O obiecţie (Ref.8) este că, spre deosebire de Brillouin, care arată direct că demonul nu poate viola principiul al doilea, o argumentaţie bazată pe principiul lui Landauer conţine un cerc vicios: cu excepţia unor justificări bazate pe modele, formularea generală a principiului lui Landauer se sprijină ea însăşi pe principiul al doilea (vezi mai sus). Totuşi, descrierea lui Ch. Bennett a modului în care activitatea demonului este compatibilă cu principiul al doilea este surprinzătoare şi radical diferită de aceea a lui Brillouin.

În primul rând, Bennett susţine că operaţia de măsurare nu este neapărat legată de creşterea entropiei, şi nici de folosirea unei cantităţi minimale de energie. Măsurătoarea este privită în analogie cu operaţia de copiere într-un calculator dintr-un registru în altul. Exemplele pe care le oferă sunt legate de aparatul lui Szilard şi unele sunt pur mecanice (Ref.12): în principiu, este posibil de detectat diferenţa de presiune între cele două compartimente ale aparatului (numai într-unul se găseşte molecula) cu o cheltuială de energie oricât de mică.

Descriem acum evoluţia entropiei şi balanţa energetică în aparatul lui Szilard, (notat cu A) presupunând că memoria demonului constă intr-un al doilea aparat Szilard (notat cu M), şi aflat la început în starea fundamentală, să zicem stânga (L = left): aceasta înseamnă că în M se găseşte o partiţie, iar molecula se află în L. Pentru simplitate, neglijăm în expresia entropiei termenii legaţi de volum şi temperatură, şi calculăm entropia prin formula

$S = k \ln n \,$

unde n este numărul de stări posibile pentru sistemul aparat + demon, evaluat de un observator situat în afara lui. Prezentarea urmăreşte Ref.1 şi se îndepărtează uşor de original (Ref.11,13).

Etapa I: În aparatul A nu se găseşte nici o partiţie: molecula se poate afla în stânga sau în dreapta; M se găseşte în starea L: entropia
$S = S(Aparat) + S(Demon) = k \ln 2 \,$
(din cauza celor două posibilităţi în A).
Etapa II: în A se introduce partiţia: nu ştim în ce parte este molecula: deci $S = k ln2$ în continuare.
Etapa III: Demonul face o măsurătoare: el copiază starea moleculei din A: dacă ea era în stânga, memoria rămâne în starea L; altfel se mută în starea R ( = right); această mutare se poate face cu un lucru mecanic oricât de mic: fie prin rotirea aparatului cu 180°, fie împingând infinit de lent partiţia şi peretele stâng al aparatului în aceeaşi direcţie: lucrurile mecanice necesare acestor operaţii au semne contrare şi se anulează. Entropia sistemului este tot $k ln2$ .
Etapa IV: Demonul extrage un lucru mecanic egal cu $k T ln2$ lăsând gazul unimolecular să se destindă; el primeşte o căldură egală cu $k T ln2$ de la rezervor în timpul procesului. Entropia $S (A p a r a t)$ este $k ln2$ la sfârşitul procesului, entropia memoriei este $k ln2$ iar a rezervorului de căldură a scăzut cu $k ln2$ : Deci entropia universului a rămas constantă, deşi a sistemului demon + aparat este $2 k ln2$ .
Etapa V: Demonul şterge memoria prin îndepărtarea partiţiei: acesta este un proces ireversibil, atât logic cât şi fizic (vezi Ref.1 pentru detalii): deoarece însă nu ştiam în ce parte se găsea molecula atunci când partiţia era prezentă, entropia memoriei la sfârşit este tot $k ln2$ .
Etapa VI: Demonul aduce memoria în starea iniţială: pentru aceasta trebuie să comprime gazul unimolecular din M la loc în starea L: execută pentru aceasta un lucru mecanic egal şi de semn contrar cu cel extras în etapa IV şi predă rezervorului o cantitate de căldură egală cu $k T ln2$ . Entropia sistemului demon + aparat scade la loc la $k ln2$ ; entropia rezervorului creste cu $k ln2$ . Aparatul şi memoria s-au întors în starea iniţială: lucrul mecanic total este zero, căldura preluată de la rezervor tot zero. Deci principiul al doilea al termodinamicii este satisfăcut.

Paşii V şi VI ilustrează principiul lui Landauer în acest model de memorie: Etapa V este „ştergerea”, independentă de starea atinsă în pasul IV, iar reiniţializarea (etapa VI) este legată de cedarea unei cantităţi de căldură egală cu $k T ln2$ .

Modelul demonului prezentat de Bennett este la ora actuală acceptat de mulţi fizicieni, dar există multe critici, de exemplu Ref.8, 9 , la care Bennett răspunde în Ref.10 . La ora actuală, „morala” acestui mod de a privi demonul este: lucrul mecanic pe care îl câştigă demonul prin urmărirea unei molecule este obligat sa îl consume când se pregăteşte să urmărească molecula următoare!

[modifică] Dezvoltări recente

Într-o lucrare recentă foarte lucidă (Ref.14), John D.Norton atrage atenţia asupra confuziei prezente într-o serie de lucrări, între entropia informaţională şi cea termodinamică. De exemplu, după Norton, afirmaţia că entropiile a două aparate Szilard unimoleculare - unul fără partiţie, iar celălalt cu o partiţie dar cu o distribuţie întîmplătoare (echiprobabilă) a moleculei în cele două compartimente - ar fi egale, este adevărată numai pentru entropia informaţională, dar nu pentru cea termodinamică. Cea informaţională este $k ln2$ în ambele cazuri, cea termodinamică este $k ln2$ când partiţia este absentă, dar zero ( $= k ln1$ ) când este prezentă.

În paragraful precedent a fost urmărită evoluţia entropiei informaţionale (punctul de vedere al unui observator exterior) în etapele I-VII ale funcţionării ciclice a demonului. Evoluţia entropiei termodinamice este diferită. În etapa II, trebuie să admitem că entropia totală a scăzut de la $k ln2$ la zero, prin simpla introducere a partiţiei. În etapele III,IV entropia universului (aparat + memorie + rezervor) rămâne neschimbată, dar în etapa V ea revine la valoarea iniţială de $k ln2$ datorită ştergerii ireversibile a memoriei demonului. Etapa VI este neschimbată.

Deosebirea pare să fie că principiul al doilea este "salvat" numai în medie, datorită ştergerii din etapa V. Disputa va continua cu siguranţă!

[modifică] Bibliografie

H.S.Leff & A.F.Rex, Maxwell's Demon 2: Entropy, Classical and Quantum Information, Computing, Institute of Physics, ISBN 0-7503-0759-5
Alexandru Cişman, Fizica generală, Editura Tehnică 1959,vol.I, cap.XVIII,§156
L.Szilard, Über die Entropieverminderung în einem thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen, Z.Physik 53(1929)840
L.Brillouin, Science and Information Theory, Academic Press, 1962, ch.XIII
R.Landauer, Irreversibility and heat generation în the computing process, IBM J. Res.Dev.5(1961)183
C.H.Bennett, Logical reversibility of computation, IBM J.Res.Dev.17(1973)525
C.H.Bennett, R.Landauer, The fundamental physical limits of computation, Scientific American,253(1985)48
Earman,J. & Norton, J.,ExorcistXIV: the Wrath of Maxwell's demon, Parts I & II, Studies în the History and Philosophy of modern Physics, 29(1998)435 & 30(1999)1
Shenker, O.R., Logic and Entropy, Philosophy of Science Archive (2000),eprint at http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00000115/
C.H.Bennett, Notes on Landauer's principle, reversible computation and Maxwell's demon, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 34 (2003) 501-510, arXiv: physics/0210005 v2
C.H.Bennett, The thermodynamics of computation - a review, International Journal of Theoretical Physics, 21(1985)(12)905
C.H.Bennett, Demons, Engines and the second Law, Scientific American, 257(1987)108
J.Bub, Maxwell's demon and the thermodynamics of computation, Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 32(2001) 569-579; arXiv:quant-ph/0203017 v1
J.D.Norton, Eaters of the lotus: Landauer's principle and the return of Maxwell's demon, Studies in History and Philosophy of Modern Phhysics, 36 (2005) 375-411

Demonul lui Maxwell

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Principiul al doilea al termodinamicii

[modifică] Demonul presiunii

[modifică] Scăderea entropiei de către demon

[modifică] Aparatul lui Szilard

[modifică] Soluţia lui Brillouin

[modifică] Principiul lui Landauer

[modifică] Funcţionarea demonului după Charles Bennett

[modifică] Dezvoltări recente

[modifică] Bibliografie

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi