Transformare Legendre

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Diagramă ce prezintă transformarea lui Legendre pentru funcţia  f(x)\,. Funcţia e marcată cu roşu, iar tangenta în punctul  (x_0,\ f(x_0)) \, e trasată cu albastru. Tangenta intersectează axa verticală în   (0,\ -f^*) iar  f^* \, este valoarea transformatei Legendre  f^*(p_0)\,, unde  p_0=\dot{f}(x_0) .

Transformarea lui Legendre este o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la o funcție de stare a unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special în termodinamică.

Preliminarii[modificare | modificare sursă]

În calcule, în locul unei funcții  f(x)\, este mai util să utilizăm o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițiale p = df/dx. Prin transformarea indicată de Legendre obținem funcția:

 f^\star(p) = \mathrm{max}_x(px-f(x)).


Definiții[modificare | modificare sursă]

Pentru a obține maximul lui

 px-f(x)\,

punem condiția ca derivata acesteia să fie zero:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0. \quad \quad (1) \,

Așadar maximul este atins când:

 p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2).

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

 {\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d}x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0,

deoarece am presupus că  f este convexă. Mai departe, din (2) obținem  x ca o funcție de  p și introducem în (1). Obținem o formă mai utilă:

 f^\star(p) = p \,\, x(p) - f(x(p)).



Aplicații[modificare | modificare sursă]

Interpretare geometrică[modificare | modificare sursă]

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]