Transformare Legendre

Diagramă ce prezintă transformarea lui Legendre pentru funcţia $f(x)\,$. Funcţia e marcată cu roşu, iar tangenta în punctul $(x_0,\ f(x_0)) \,$ e trasată cu albastru. Tangenta intersectează axa verticală în $(0,\ -f^*)$ iar $f^* \,$ este valoarea transformatei Legendre $f^*(p_0)\,$, unde $p_0=\dot{f}(x_0)$ .

Transformarea lui Legendre este o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la o funcție de stare a unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special în termodinamică.

Preliminarii

În calcule, în locul unei funcții $f(x)\,$ este mai util să utilizăm o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițiale p = df/dx. Prin transformarea indicată de Legendre obținem funcția:

$f^\star(p) = \mathrm{max}_x(px-f(x)).$

Definiții

Pentru a obține maximul lui

$px-f(x)\,$

punem condiția ca derivata acesteia să fie zero:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(px-f(x) \right) = p-{\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} = 0. \quad \quad (1) \,$

Așadar maximul este atins când:

$p = {\mathrm{d}f(x) \over \mathrm{d}x} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)$.

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

${\mathrm{d}^2 \over \mathrm{d}x^2}(xp-f(x)) = -{\mathrm{d}^2f(x) \over \mathrm{d}x^2} < 0,$

deoarece am presupus că $f$ este convexă. Mai departe, din (2) obținem $x$ ca o funcție de $p$ și introducem în (1). Obținem o formă mai utilă:

$f^\star(p) = p \,\, x(p) - f(x(p)).$