Marele icosidodecaedru retrosnub

Marele icosidodecaedru retrosnub
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	92 (80 triunghiuri,       12 pentagrame)
Laturi (muchii)	150
Vârfuri	60
χ	2
Configurația vârfului	3.3/2.3.5/2.3
Simbol Wythoff	| 3/2 5/3 2
Simbol Schläfli	sr{3/2,5/3}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I, [5,3]+, 532
Volum	≈1,038 a3   (a = latura)
Poliedru dual	marele hexacontaedru pentagramic
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele icosidodecaedru retrosnub sau marele icosidodecaedru retrosnub inversat este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₇₄. Are 92 de fețe (80 triunghiuri și 12 pentagrame), 150 de laturi și 60 de vârfuri. Având 92 de fețe este un enenecontadiedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin . Are simbolul Wythoff | 3/2 5/3 2 și simbolul Schläfli sr{3/2,5/3}.

Este un poliedru snub, membru al unei familii care cuprinde marele icosaedru, marele dodecaedru stelat și marele icosidodecaedru.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr par de semne plus ale

$\left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)$

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur,

$\xi$ este cea mai mică rădăcină reală pozitivă a polinomului $\xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1}$, soluția analitică fiind

$\xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\approx 0,3264046,$

rezultat care se poate obține și numeric,

$\alpha =\xi -\xi ^{-1}$ iar

$\beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.$

Permutările impare ale coordonatelor de mai sus cu un număr impar de semne plus dau o altă formă, enantiomorfă a celeilalte. Invers, permutările impare cu un număr par de semne plus dau aceleași două figuri rotite cu 90°.

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,580002$

unde $x\approx -1,89346$ este cea mai mică rădăcină reală a polinomului $x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}$.

O altă relație pentru calculul razei circumscrise se bazează pe rădăcinile reale pozitive ale polinomului de gradul al șaselea în $R^{2},$

$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$

ale cărei rădăcini reale sunt: R₁ = 0,580002, R₂ = 0,645020, R₃ = 0,816081 și R₄ = 2,15584, și sunt, în ordine, razele circumscrise ale marelui icosidodecaedru retrosnub (U₇₄), marelui icosidodecaedru snub (U₅₇), marelui icosidodecaedru snub inversat (U₆₉) și a dodecaedrului snub (U₂₉).

Volum

Volumul său, V, este dat de una dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al șaselea în $x^{2}$

${\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}+162223191936000x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625.\end{aligned}}$

Cele patru rădăcini reale ale acestui polinom sunt x₁ = 1,03760, x₂ = 2,71387, x₃ = 7,67390 și x₄ = 37,6166 și sunt, în ordine, volumele marelui icosidodecaedru retrosnub (U₇₄), marelui icosidodecaedru snub (U₅₇), marelui icosidodecaedru snub inversat (U₆₉) și al dodecaedrului snub (U₂₉).

Ca urmare, volumul este

$V\approx 1,03760~a^{3}$

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Dual: marele hexacontaedru pentagramic

Poliedre înrudite

Poliedru dual

Dualul său este marele hexacontaedru pentagramic.

Vezi și

• Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub
• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: girsid