Tetraedru

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Tetraedru120px-Tetrahedron-slowturn.gif

Tetraedrul este un poliedru alcătuit din patru fețe triunghiulare, oricare trei dintre ele intersectându-se într-unul din cele patru vârfuri. Tetraedrul este cel mai simplu tip de piramidă, la care baza este triunghi, de aceea mai este denumit și piramidă triunghiulară.

Un caz particular îl constituie tetraedrul regulat, la care toate fețele sunt tringhiuri echilaterale și este unul din cele cinci tipuri de poliedre regulate.

Formule pentru tetraedrul regulat[modificare | modificare sursă]

Aria bazei A_0={\sqrt{3}\over4}a^2 \,
Aria totală A=4\,A_0={\sqrt{3}}a^2 \,
Înălțimea \sqrt{{2\over3}}\,a \,
Volumul V={1\over3} A_0h ={\sqrt{2}\over12}a^3 \,
Unghiul dintre o față și muchie \arccos\left({1 \over \sqrt{3}}\right) = \arctan(\sqrt{2}) \,
(aprox. 54.7356°)
Unghiul dintre două fețe \arccos\left({1 \over 3}\right) = \arctan(2\sqrt{2}) \,
(aprox. 70.5288°)
Unghiul dintre segmentele care unesc centrul cu două vârfuri \arccos\left ({-1\over3}\right )\,
(aprox. 109.4712°)
Unghiul solid sub care este văzută o față din vârful opus  3 \arccos\left ({1\over3}\right ) - \pi \,
(aprox. 0.55129 steradiani)

În tabelul de mai sus a este latura tetraedrului regulat.

Inegalități într-un tetraedru[modificare | modificare sursă]

Fie   OABC   un tetraedru de volum V, unde   a,b, c   sunt lungimile muchiilor feței   [ABC],   iar   d,e,f   ale muchiilor   OA, OB, OC   și R raza sferei circumscrise. Atunci:

1)   a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 \le 16 R^2;

2)   (a^2+b^2+c^2) \cdot (d^2+e^2+f^2) \le 64 R^4;

3)   (-ad + be+ cf) \cdot (ad-be+cf) \cdot (ad+be-cf) \ge 72 V^2;

4)   a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f \ge 72 V^2.

Demonstrație.

1) Fie X centrul sferei. Dacă se presupune   R=1   atunci vectorii   \overrightarrow {XO},  \overrightarrow {XA},  \overrightarrow {XB},  \overrightarrow {XC}   sunt vectori unitari:

 S = a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 = \sum (\overrightarrow {XO}-  \overrightarrow {XA})^2 + \sum (\overrightarrow {XA} -  \overrightarrow {XB})^2 =
 = 12 - 2 \overrightarrow {XC} (\overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}+  \overrightarrow {XO} ) - 2 (\overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XB} +  \overrightarrow {XB} \cdot  \overrightarrow {XA} +  \overrightarrow {XA} \cdot  \overrightarrow {XO} ).

Presupunând că punctele   A,B,O   sunt fixate și C variabil cu   \| \overrightarrow {XC} \| = 1,   S este maximă când   - \overrightarrow {XC} (\overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}+  \overrightarrow {XO})   este maxim ceea ce se obține în cazul:

 \overrightarrow {XC} = -t (\overrightarrow {XO}+  \overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}), \; \; t>0.

Atunci:

 1=  \| \overrightarrow {XC} \|^2 = t^2 \cdot [3+2 (\overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XA} +  \overrightarrow {XA} \cdot  \overrightarrow {XB} +  \overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XB})];
 - \overrightarrow {XC} (\overrightarrow {XA}+  \overrightarrow {XB}+  \overrightarrow {XO}) = \frac 1t \overrightarrow {XC} \cdot \overrightarrow {XC} = \frac 1t;
 2 (\overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XA} +  \overrightarrow {XA} \cdot  \overrightarrow {XB} +  \overrightarrow {XO} \cdot  \overrightarrow {XB}) = \frac {1}{t^2} -3,

de unde rezultă:

 S= \frac {12}{t} + \frac 2t - \frac {1}{t^2} + 3 = 15 + \frac {2t-1}{t^2}.

Dar   \max S   se atinge pentru   t=1,   deci   S \le 16.  

Vezi și[modificare | modificare sursă]