Piramidă pentagonală

Descriere
Piramidă pentagonală

(model 3D)
Tip	poliedru Johnson J₁ - J₂ - J₃
Fețe	6 (5 triunghiuri, 1 pentagon)
Laturi (muchii)	10
Vârfuri	6
χ	2
Configurația vârfului	3⁵; 5(3².5)
Simbol Schläfli	( ) ∨ {5}
Grup de simetrie	C_5v, [5], (*55), ordin 10
Arie	≈ 3,886 a² (a = latura)
Volum	≈ 0,302 a³ (a = latura)
Poliedru dual	autodual
Proprietăți	convexă
Desfășurată

În geometrie o piramidă pentagonală este o piramidă cu o bază pentagonală și cinci fețe laterale triunghiulare care se întâlnesc într-un punct (apexul). Ca orice piramidă, este autoduală.

Piramida pentagonală regulată are baza un pentagon regulat, iar fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale. Este poliedrul Johnson J₂.

Poate fi văzută drept „capacul” unui icosaedru; restul icosaedrului formând o piramidă pentagonală giroalungită, J₁₁.

Mai general, se poate defini o piramidă pentagonală uniformă pe vârfuri, cu o bază pentagonală regulată și 5 fețe laterale în formă de triunghiuri isoscele de orice înălțime.

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Piramida pentagonală poate fi văzută ca un „capac” al unui icosaedru regulat, restul icosaedrului formează o piramidă pentagonală giroalungită, J₁₁. Pornind de la coordonatele carteziene ale icosaedrului, coordonatele carteziene ale piramidei pentagonale cu lungimea laturii de 2 pot fi deduse astfel:

(1,0,\varphi ),\,(-1,0,\varphi ),\,(0,\varphi ,1),\,(\varphi ,1,0),(\varphi ,-1,0),(0,-\varphi ,1)

unde $\varphi$ este secțiunea de aur.^[1]

Înălțimea h, de la mijlocul bazei până la vârf a unei piramide pentagonale cu lungimea laturii a poate fi calculată astfel:^[2]

h={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\,a\approx 0,525731\,a\,.

Aria A sa este aria bazei pentagonale plus de cinci ori aria unui triunghi:^[2]^[3]

A={\sqrt {{\frac {5}{8}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\,a^{2}\approx 3,885541\,a^{2}\,.

Volumul său este:^[3]

V={\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}\,a^{3}\approx 0,301503\,a^{3}\,.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Piramide regulate
Digonală	Triunghiulară	Pătrată	Pentagonală	Hexagonală	Heptagonală	Octogonală	Eneagonală	Decagonală...
Improprie	Regulată	Echilaterale		Isoscele

Piramida pentagramică are aceeași aranjament al vârfurilor, dar baza sa este o pentagramă.

Piramidă pentagramică (stelată)	Trunchiul pentagonal este o piramidă pentagonală cu apexul trunchiat	Partea din față a unui icosaedru este o piramidă pentagonală

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Weisstein, Eric W. „Icosahedral Group”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în 12 aprilie 2020.
^ ^a ^b en Sapiña, R. „Area and volume of a pentagonal pyramid and Johnson solid J₂”. Problemas y ecuaciones (în spaniolă). ISSN 2659-9899. Accesat în 29 iunie 2020.
^ ^a ^b en Weisstein, Eric W. „Pentagonal Pyramid”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în 12 aprilie 2020.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

Materiale media legate de piramidă pentagonală la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Pentagonal pyramid la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Johnson solid la MathWorld.
en Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra model VRML)

[1] Weisstein, Eric W. „Icosahedral Group”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în 12 aprilie 2020.

[pye-2] Sapiña, R. „Area and volume of a pentagonal pyramid and Johnson solid J₂”. Problemas y ecuaciones (în spaniolă). ISSN 2659-9899. Accesat în 29 iunie 2020.

[mw-3] Weisstein, Eric W. „Pentagonal Pyramid”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în 12 aprilie 2020.

[1]

[2]

[3]