Icositetraedru romboidal

Descriere
Icositetraedru romboidal

(animație și model 3D)
Tip	Poliedru Catalan
Fețe	24 (romboizi)
Laturi (muchii)	48
Vârfuri	26
χ	2
Configurația feței	V3.4.4.4
Simbol Conway	oC sau deC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	O_h, BC₃, [4,3], *432
Grup de rotație	O, [4,3]⁺, (432)
Arie	≈ 30,695 a² (a = latura mică)
Volum	≈ 14,913 a³ (a = latura mică)
Unghi diedru	138° 07′ 05″ = arccos(−7 + 4√2/17)
Poliedru dual	Rombicuboctaedru
Proprietăți	Poliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată

În geometrie un icositetraedru romboidal este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul icosaedrului triakis este rombicuboctaedrul. Este tranzitiv pe fețe.

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icositetraedru romboidal centrat în origine sunt:

(±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1)
(0, ±1/2√2, ±1/2√2), (±1/2√2, 0, ±1/2√2), (±1/2√2, ±1/2√2, 0)
(±(2√2+1)/7, ±(2√2+1)/7, ±(2√2+1)/7)

Laturile lungi ale acestui icosaedru deltoidal au lungimea √(2-√2) ≈ 0,765367.

Dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Cele 24 de fețe sunt romboizi.^[1] Raportul dintre lungimile laturilor scurte și lungi este 1:(2 − 1/√2) ≈ 1:1,292893...

Dacă lungimea laturii scurte este $a$ , aria și volumul sunt

{\begin{aligned}A&=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\approx 30,694\,895\,724\,a^{2}\\V&={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,a^{3}\approx 14,913\,388\,714\,a^{3}\end{aligned}}

Romboizii au trei unghiuri ascuțite egale de $\arccos({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}})\approx 81,578\,941\,882\,85^{\circ }$ și unul obtuz (între laturile scurte ale romboidului) de $\arccos(-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}})\approx 115,263\,174\,354\,45^{\circ }$ .

Proiecții ortogonale[modificare | modificare sursă]

Icositetraedrul romboidal are trei proiecții ortogonale particulare, toate centrate pe vârfuri.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
Simetrie proiectivă	[2]	[4]	[6]
Imagini
Imagini duale

Poliedre și pavări înrudite[modificare | modificare sursă]

Proiecția poliedrului pe un cub divide pătratele în sferturi. Proiecția pe un octaedru divide triunghiurile în romboizi. În notația Conway a poliedrelor aceasta reprezintă o operație orto asupra unui cub sau octaedru.

Dualul micului rombicuboctaedru este similar cu dodecaedrul disdyakis (dualul marelui rombicuboctaedru). Principala diferență este că acesta din urmă are și laturi între vârfurile de pe axele de simetrie cu 3 și 4 poziții (între vârfurile galbene și roșii din imaginile de mai jos).


icositetraedru romboidal	Dodecaedru disdiakis	Dodecaedru diakis	Tetartoid

Icositetraedrul romboidal face parte dintr-o familie de duale ale poliedrelor uniforme legate de cub și octaedrul regulat.

Când sunt proiectate pe o sferă se poate observa că laturile formează imaginea unui compus de cub și octaedru cubul și octaedrul fiind aranjate în pozițiile lor duale. De asemenea, se poate observa că colțurile triple și colțurile cvadruple pot fi făcute să aibă aceeași distanță față de centru. În acest caz, icositetraedrul rezultat nu va mai avea un rombicuboctaedru ca dual, deoarece la rombicuboctaedru centrele pătratelor și triunghiurilor sale sunt la distanțe diferite de centru.

Poliedre octaedrice uniforme v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= sau	= sau	=

Dualele celor de mai sus
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Din punct de vedere topologic acest poliedru face parte din secvența de poliedre romboidale cu figura feței (V3.4.n.4) și continuă cu pavări ale planului hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetria de reflexie (*n32) în notația orbifold.

Variante de pavări expandate duale cu simetrie *n32: V3.4.n.4
Simetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paracomp.
Simetrie *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Config. feței	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Dodecaedrul diakis[modificare | modificare sursă]

O variantă cu simetrie piritoedrică se numește dodecaedru diakis^[2]^[3] sau diploid.^[4] Este comun în cristalografie.

Stelare[modificare | modificare sursă]

Marele octaedru triakis este o stelare a icositetraedrului romboidal.

Note[modificare | modificare sursă]

^ en „Kite”. Accesat în 6 octombrie 2019.
^ en Isohedron 24k
^ en The Isometric Crystal System
^ en The 48 Special Crystal Forms

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)
en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 286, tetragonal icosikaitetrahedron)

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Deltoidal icositetrahedron la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Catalan solid la MathWorld.
en Deltoidal (Trapezoidal) Icositetrahedron – Interactive Polyhedron model

[1] „Kite”. Accesat în 6 octombrie 2019.

[2] Isohedron 24k

[3] The Isometric Crystal System

[4] The 48 Special Crystal Forms

[1]

[2]

[3]

[4]