Sferă circumscrisă
În geometrie, o sferă circumscrisă unui poliedru este o sferă care conține poliedrul și atinge fiecare dintre vârfurile poliedrului.[1]
Existență[modificare | modificare sursă]
Atunci când există, o sferă circumscrisă nu trebuie să fie cea mai mică sferă care conține poliedrul; de exemplu, tetraedrul format dintr-un vârf al unui cub și cei trei vecini ai săi are aceeași sferă circumscrisă ca și cubul în sine, dar poate fi conținut într-o sferă mai mică având cele trei vârfuri vecine pe ecuatorul său. Totuși, cea mai mică sferă care conține un poliedru dat este întotdeauna sfera circumscrisă anvelopei convexe a unei submulțimi a vârfurilor poliedrului.[2]
În De solidorum elementis (circa 1630) René Descartes a observat că pentru un poliedru care are o sferă circumscrisă, toate fețele au cercuri circumscrise — cercurile în care planul feței intersectează sfera circumscrisă. Descartes a sugerat că această condiție necesară pentru existența unei sfere circumscrise este suficientă, dar nu este adevărat: de exemplu unele bipiramide pot avea cercuri circumscrise fețelor lor (toate fiind triunghiuri), dar nu au o sferă care circumscrie întregul poliedru. Totuși, ori de câte ori un poliedru simplu are un cerc circumscris fiecăruia dintre fețele sale, are și o sferă circumscrisă.[3]
Concepte înrudite[modificare | modificare sursă]
Sfera circumscrisă este analogul tridimensional al cercului circumscris. Toate poliedrele regulate au sfere circumscrise, dar nu și majoritatea poliedrelor neregulate, deoarece în general nu toate vârfurile se află pe o sferă comună. Sfera circumscrisă (când există) este un exemplu de sferă de delimitare, o sferă care conține o formă dată. Este posibil să se definească cea mai mică sferă de delimitare pentru orice poliedru și să se calculeze în timp proporțional cu complexitatea poliedrului.[2]
Alte sfere definite pentru unele poliedre, dar nu pentru toate, sunt sfera mediană, o sferă tangentă la toate muchiile unui poliedru și sfera înscrisă, o sferă tangentă la toate fețele unui poliedru. La poliedrele regulate, sferele înscrisă, mediană și circumscrisă există toate și sunt concentrice.[4]
Când sfera circumscrisă este mulțimea infinită a punctelor care mărginesc spațiul hiperbolic, poliedrul pe care îl circumscrie este cunoscut sub numele de poliedru ideal.
Note[modificare | modificare sursă]
- ^ en James, R. C. (), The Mathematics Dictionary, Springer, p. 62, ISBN 9780412990410.
- ^ a b Fischer, Kaspar; Gärtner, Bernd; Kutz, Martin (), „Fast smallest-enclosing-ball computation in high dimensions”, Algorithms - ESA 2003: 11th Annual European Symposium, Budapest, Hungary, September 16-19, 2003, Proceedings (PDF), Lecture Notes in Computer Science, 2832, Springer, pp. 630–641, doi:10.1007/978-3-540-39658-1_57.
- ^ Federico, Pasquale Joseph (), Descartes on Polyhedra: A Study of the "De solidorum elementis", Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences, 4, Springer, pp. 52–53
- ^ en Coxeter, H. S. M. (), „2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation”, Regular Polytopes (ed. 3rd), Dover, pp. 16–17, ISBN 0-486-61480-8
Legături externe[modificare | modificare sursă]
Materiale media legate de sferă circumscrisă la Wikimedia Commons- en Eric W. Weisstein, Circumsphere la MathWorld.
