Eneaedru

În geometrie un eneaedru este un poliedru cu nouă fețe. Există 2606 tipuri de eneaedre convexe, fiecare având un model diferit de conexiuni ale vârfurilor, laturilor și fețelor.^[1] Niciunul dintre ele nu este regulat.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Cele mai cunoscute eneaedre sunt piramida octogonală și prisma heptagonală. Prisma heptagonală este un poliedru uniform, cu două fețe heptagonale regulate și șapte fețe pătrate. Piramida octogonală are opt fețe triunghiulare isoscele în jurul unei baze octogonale regulate. Alte două eneaedre se regăsesc printre poliedrele Johnson: piramida pătrată alungită și bipiramida triunghiulară alungită. Asociaedrul tridimensional, un poliedru aproape Johnson cu șase fețe pentagonale și trei fețe patrulatere, este un eneaedru. Cinci poliedre Johnson au duale eneaedrice: cupola triunghiulară, piramida pătrată giroalungită, piramida pătrată alungită autoduală, prisma triunghiulară triaugmentată (al cărei dual este asociaedrul) și icosaedrul tridiminuat. Un alt eneaedru este trapezoedrul diminuat cu o bază pătrată, 4 fețe romboidale și 4 fețe triunghiulare.

Piramidă octogonală	Prismă heptagonală	Prismă heptagramică 7/2	Prismă heptagramică 7/3
Eneaedru Herschel	Piramidă pătrată alungită	Bipiramidă triunghiulară alungită	Bipiramidă triunghiulară trunchiată (un poliedru aproape Johnson, și asociaedru)
Dualul cupolei triunghiulare	Dualul piramidei pătrate giroalungite	Dualul icosaedrului tridiminuat	Trapezoedru diminuat pătrat

Graful Herschel^⁠(d) reprezintă vârfurile și laturile eneaedrului Herschel de mai sus, cu toate fețele patrulatere. Este cel mai simplu poliedru fără un drum hamiltonian, singurul eneaedru în care toate fețele au același număr de laturi și unul dintre cele trei eneaedre bipartite.

Cea mai mică pereche de grafuri poliedrice izospectrale este a eneaedrelor cu opt vârfuri fiecare.^[2]

Eneaedre care umplu spațiul[modificare | modificare sursă]

Tăierea unui dodecaedru rombic în jumătate prin diagonalele lungi a patru dintre fețele sale are ca rezultat un eneaedru autodual, trapezoedrul diminuat pătrat, cu o față pătrată mare, patru fețe rombice și patru în formă de triunghi isoscel. Ca și dodecaedrul rombic însuși, această formă poate fi folosită pentru a tesela spațiul tridimensional.^[3] O formă alungită a acestei forme, care încă teselează spațiul, poate fi văzută la vârfurile turnurilor laterale din spate ale Bazilicii Fecioarei Maria, Maastricht, în stil romanic, din secolul al XII-lea. Turnurile în sine, cu cele patru fețe pentagonale, patru fațete ale acoperișului și baza pătrată, formează un alt eneaedru care umple spațiul.

Goldberg (1982) a găsit cel puțin 40 de eneaedre care umplu spațiul distincte topologic.^[4]

Eneaedre distincte din punct de vedere topologic[modificare | modificare sursă]

Există 2606 eneaedre convexe topologic distincte, excluzând imaginile în oglindă. Acestea pot fi împărțite în subseturi de 8, 74, 296, 633, 768, 558, 219 și 50, care au de la 7 până la respectiv 14 vârfuri.^[5] Un tabel cu aceste numere, împreună cu o descriere detaliată a eneaedrelor cu nouă vârfuri a fost publicată pentru prima dată în anii 1870 de către Thomas Kirkman.^[6]

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? Arhivat în 7 iunie 2010, la Wayback Machine.
^ en Hosoya, Haruo; Nagashima, Umpei; Hyugaji, Sachiko (1994), „Topological twin graphs. Smallest pair of isospectral polyhedral graphs with eight vertices”, Journal of Chemical Information and Modeling, 34 (2): 428–431, doi:10.1021/ci00018a033
^ en Critchlow, Keith (1970), Order in space: a design source book, Viking Press, p. 54
^ en Goldberg, Michael (1982), „On the space-filling enneahedra”, Geometriae Dedicata, 12 (3): 297–306, doi:10.1007/BF00147314
^ en Counting polyhedra
^ en Biggs, N.L. (1981), „T.P. Kirkman, mathematician”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR 0608093

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

en Enumeration of Polyhedra by Steven Dutch
en Eric W. Weisstein, Nonahedron la MathWorld.

[1] Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? Arhivat în 7 iunie 2010, la Wayback Machine.

[2] Hosoya, Haruo; Nagashima, Umpei; Hyugaji, Sachiko (1994), „Topological twin graphs. Smallest pair of isospectral polyhedral graphs with eight vertices”, Journal of Chemical Information and Modeling, 34 (2): 428–431, doi:10.1021/ci00018a033

[3] Critchlow, Keith (1970), Order in space: a design source book, Viking Press, p. 54

[4] Goldberg, Michael (1982), „On the space-filling enneahedra”, Geometriae Dedicata, 12 (3): 297–306, doi:10.1007/BF00147314

[5] Counting polyhedra

[6] Biggs, N.L. (1981), „T.P. Kirkman, mathematician”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR 0608093

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]