Dodecaedru

Dodecaedru regulat

Dodecaedrul (în greacă: δωδεκάεδρον, de la δώδεκα 'doisprezece' + εδρον 'față') este un poliedru cu 12 fețe. Un caz particular este cel al dodecaedrului regulat, care este unul din cele cinci tipuri de poliedre regulate. Fețele acestuia sunt pentagoane regulate, unghiul format de două fețe alăturate fiind același.

Formule

Formulele care urmează sunt valabile pentru dodecaedrul regulat.

Razele sferelor circumscrise, înscrise

Dacă a este muchia, atunci raza sferei circumscrise este:

$r_u = \frac{a}{4} \left(\sqrt{15} +\sqrt{3}\right) \approx 1.401258538 \cdot a$

iar raza sferei înscrise este:

$r_i = \frac{a}{20} \sqrt{250 +110\sqrt{5}} \approx 1.113516364 \cdot a$

Dacă vom considera sfera care trece prin mijlocul fiecărei muchii, atunci raza acesteia este:

$r_m = \frac{a}{4} \left(3 +\sqrt{5}\right) \approx 1.309016994 \cdot a .$

Aria și volumul

Aria totală și volumul dodecaedrului sunt date de relațiile:

$A = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2 \approx 20.64572a^2$

$V = \frac{1}{4} (15+7\sqrt{5}) a^3 \approx 7.66311896a^3 .$

Unghiul diedru

Unghiul diedru dintre două fețe alăturate rezultă din relația:

$\arccos\frac{-1}{\sqrt{5}} = \arccot {\frac{-1}{2}} \approx$116°33'54 .