Tetrahemihexaedru

Tetrahemihexaedru
(animație) (model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	7 (4 triunghiuri, 3 pătrate)
Laturi (muchii)	12
Vârfuri	6
χ	1
Configurația vârfului	3.4.3/2.4
Configurația feței	4{3}+3{4}
Simbol Wythoff	3/2 3 | 2 (acoperire dublă)
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Td, [3,3], (*332)
Arie	≈4,732 a2   (a = latura)
Volum	≈0,236 a3   (a = latura)
Poliedru dual	tetrahemihexacron
Proprietăți	neconvex
Figura vârfului

În geometrie un tetrahemihexaedru este un poliedru uniform neconvex cu 7 fețe (4 triunghiuri și 3 pătrate), 12 laturi și 6 vârfuri. Figura vârfului său este un antiparalelogram. Diagrama sa Coxeter–Dynkin este (deși aceasta este o acoperire dublă a tetrahemihexaedrului). Având 7 fețe este un heptaedru.

Este o fațetare a octaedrului.

Este singurul poliedru uniform neprismatic cu un număr impar de fețe. Simbolul său Wythoff este 3/2 3 | 2, dar care reprezintă o acoperire dublă a tetrahemihexaedrului cu opt triunghiuri și șase pătrate, perechi care coincid în spațiu. (Poate fi văzut mai intuitiv ca două tetrahemihexaedre care coincid.)

Este un hemipoliedru. Partea „hemi” a numelui înseamnă că unele fețe formează un grup cu jumătate din numărul elementelor decât la un poliedru obișnuit — aici, trei fețe pătrate formează un grup cu jumătate din numărul fețelor unui hexaedru obișnuit, mai bine cunoscut sub numele de cub — de unde „hemihexaedrul”. Fețele hemi sunt orientate la fel ca fețele poliedrului obișnuit. Cele trei fețe pătrate ale tetrahemihexaedrului sunt, ca și cele trei orientări ale fețelor cubului, perpendiculare reciproc.

Caracteristica „jumătate din numărul” înseamnă că fețele hemi trebuie să treacă prin centrul poliedrului, unde toate se intersectează. Vizual, fiecare pătrat este împărțit în patru triunghiuri dreptunghice, câte două fiind vizibile din fiecare parte.

Are indicele uniform U₀₄ și indicele Wenniger W₆₇.

Mărimi asociate

Următoarele formule pentru arie A, volum V și raza circumscrisă R sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a.

Aria este aria celor 3 fețe pătrate și 4 fețe triunghiulare:

$A=(3+4{\frac {\sqrt {3}}{4}})\,a^{2}\approx 4,732051~a^{2}$.

Volumul este jumătate din volumul unui octaedru regulat:

$V={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{3}}\,a^{3}\approx 0,235702~a^{3}$.

Deoarece anvelopa sa convexă este octaedrul, raza sa circumscrisă este raza circumscrisă a octaedrului:

$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\,a\approx 0,707107~a$.

Suprafețe înrudite

Suprafață romană

Este o suprafață neorientabilă. Este unic ca singurul poliedru uniform cu caracteristica Euler 1, prin urmare este un poliedru proiectiv^⁠(d), fiind o reprezentare a planului proiectiv real foarte asemănător cu o suprafață romană^⁠(d).

Poliedre înrudite

Are aceleași vârfuri și laturi ca și octaedrul regulat. De asemenea, are în comun 4 din cele 8 fețe triunghiulare cu cele ale octaedrului, dar are trei fețe pătrate suplimentare care trec prin centrul poliedrului.

Octaedru

Tetrahemihexaedru

Dualul său este tetrahemihexacronul.

Este 2-acoperit^⁠(d) de cuboctaedru, care are aceeași figură a vârfului abstractă (2 triunghiuri și două pătrate: 3.4.3.4) și de două ori vârfurile, laturile și fețele. Are aceeași topologie ca și poliedrul abstract^⁠(d) hemicuboctaedrul.

Cuboctaedru

Tetrahemihexaedru

Poate fi construit și ca o semicupolă triunghiulară autointersectată. Toate semicupolele și dualii lor sunt plane proiective topologice.

Familia semicupolelor stelate

n⁄d	3	5	7
2	Semicupolă triunghiulară autointersectată	Semicupolă pentagramică ( {5/2} )	Semicupolă heptagramică ( {7/2} )
4	—	Semicupolă pentagonală autointersectată	Semicupolă heptagonală autointersectată

Tetrahemihexacron

Tetrahemihexacron
Descriere
Tip	poliedru stelat
Fețe	6
Laturi (muchii)	12
Vârfuri	7
χ	1
Grup de simetrie	Td, [3,3], (*332)
Poliedru dual	Tetrahemihexaedru
Proprietăți	neconvex

Tetrahemihexacronul este dualul tetrahemihexaedrului și este unul dintre cele nouă hemipoliedre duale.

Deoarece hemipoliedrele au fețe care trec prin centru, poliedrele duale au vârfurile corespunzătoare la infinit; propriu-zis, la infinit în planul proiectiv real^⁠(d). În Dual Models de Magnus Wenninger, acestea sunt reprezentate cu prisme care se intersectează, fiecare extinzându-se în ambele direcții până la același vârf de la infinit, pentru a menține simetria. În practică, prismele modelului sunt tăiate de la un punct care este convenabil pentru producător. Wenninger a sugerat că aceste figuri sunt membri ai unei noi clase de figuri stelate, numite stelate la infinit. Totuși, el a mai sugerat că strict vorbind nu sunt poliedre, deoarece construcția lor nu este conformă definițiilor uzuale.

Topologic, se consideră că au șapte vârfuri. Cele trei vârfuri considerate la infinit în planul proiectiv real corespund direcțional celor trei vârfuri ale hemioctaedrului, un poliedru abstract. Celelalte patru vârfuri există la colțurile alternate ale unui cub central (un demicub, în acest caz un tetraedru).

Bibliografie

• en Richter, David A., Two Models of the Real Projective Plane, arhivat din original la 3 martie 2016, accesat în 12 iulie 2023 
• en Wenninger, Magnus (2003) [1983], Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme
• Compus de cinci tetrahemihexaedre
• Compus de douăzeci de tetrahemihexaedre

Legături externe

• Materiale media legate de tetrahemihexaedru la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Uniform polyhedron la MathWorld.
• en Uniform polyhedra and duals
• en Paper model, Stella software

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: thah