Matrice transpusă

Transpusa unei matrice este operația prin care, unei matrice date, i se asociază o altă matrice obținută prin schimbarea liniilor cu coloanele și a coloanelor cu liniile. Această operație joacă un rol fundamental în algebra liniară și în teoria matricelor.

Definiție

Fie matricea $A=(a_{ij})_{m\times n}.$

Se numește transpusa matricei $A$ , și se notează cu $A^{t}$ , matricea de tip $n\times m$ definită prin: $(A^{t})_{ij}=a_{ji}.$

Cu alte cuvinte, elementul aflat pe linia $i$ și coloana $j$ în transpusa lui $A$ este elementul aflat pe linia $j$ și coloana $i$ în matricea inițială.

Operația prin care liniile unei matrice devin coloane și coloanele devin linii se numește transpunere.

Forma generală

Dacă $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

atunci $A^{t}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{m2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Linia $i$ din matricea $A$ devine coloana $i$ în matricea transpusă.

Exemple

Exemplul 1

Fie matricea $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.$

Atunci transpusa sa este: $A^{t}={\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{pmatrix}}.$

Exemplul 2

Fie matricea linie $A=(1\ -i\ 2i).$

Transpusa ei este matricea coloană: $A^{t}={\begin{pmatrix}1\\-i\\2i\end{pmatrix}}.$

Exemplul 3

Fie matricea $A={\begin{pmatrix}2&0\\3&1\\4&7\end{pmatrix}}.$

Atunci $A^{t}={\begin{pmatrix}2&3&4\\0&1&7\end{pmatrix}}.$

Proprietăți

Operația de transpunere verifică următoarele proprietăți fundamentale.

Dubla transpunere

Pentru orice matrice $A$ , $(A^{t})^{t}=A.$

Aplicarea operației de transpunere de două ori conduce la matricea inițială.

Transpusa sumei

Dacă matricile $A$ și $B$ sunt de același tip, atunci: $(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.$

Transpusa produsului cu un scalar

Pentru orice scalar $\lambda$ , $(\lambda A)^{t}=\lambda A^{t}.$

Transpusa produsului a două matrice

Dacă produsul $AB$ este definit, atunci: $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.$

Această proprietate este una dintre cele mai importante proprietăți ale transpusei, deoarece ordinea factorilor se inversează.

Demonstrația relației $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$

Fie $A=(a_{ij})_{m\times n},$ și $B=(b_{ij})_{n\times p}.$

Elementul de pe poziția $(i,j)$ din matricea $AB$ este: $(AB)_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$

În transpusa produsului: $((AB)^{t})_{ij}=(AB)_{ji}.$

Rezultă: $((AB)^{t})_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}.$

Pe de altă parte: $(B^{t}A^{t})_{ij}=\sum _{k=1}^{n}(B^{t})_{ik}(A^{t})_{kj}=\sum _{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk}.$

Cum înmulțirea numerelor reale sau complexe este comutativă, $b_{ki}a_{jk}=a_{jk}b_{ki},$

de unde: $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.$

Relația cu diagonalele unei matrice

În cazul unei matrice pătratice, elementele de pe diagonala principală rămân pe aceeași poziție după transpunere.

Dacă $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}},$

atunci elementele $a_{11},a_{22},a_{33}$ rămân neschimbate în transpusa lui $A$ .

Elementele situate simetric față de diagonala principală își schimbă între ele pozițiile: $a_{ij}\leftrightarrow a_{ji}.$

Matrice simetrice

O matrice pătrată (sau pătratică) $A$ se numește simetrică dacă: $A^{t}=A.$

Exemplu: $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}.$

Într-o matrice simetrică are loc relația: $a_{ij}=a_{ji}.$

Matrice antisimetrică

O matrice pătrată (sau pătratică) $A$ se numește antisimetrică dacă: $A^{t}=-A.$

În acest caz: $a_{ij}=-a_{ji}.$

Elementele diagonalei principale sunt nule: $a_{ii}=0.$

Exemplu: $A={\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&4\\1&-4&0\end{pmatrix}}.$

Urma unei matrice și transpusa

Dacă $A$ este o matrice pătrată (sau pătratică), atunci: $\operatorname {Tr} (A^{t})=\operatorname {Tr} (A).$

Urma unei matrice reprezintă suma elementelor de pe diagonala principală.

Interpretare geometrică

Transpunerea unei matrice poate fi interpretată drept o reflecție a elementelor matricei față de diagonala principală.

Astfel:

elementele aflate deasupra diagonalei principale ajung sub diagonală;
elementele aflate sub diagonală ajung deasupra acesteia.

Aplicații

Transpusa unei matrice apare în:

algebra liniară;
geometria analitică;
teoria formelor pătratice;
rezolvarea sistemelor de ecuații liniare;
studiul matricelor ortogonale;
calcul numeric;
informatică și grafică computerizată.

În multe aplicații, transpunerea este utilizată pentru simplificarea calculelor matriciale și pentru formularea unor proprietăți teoretice.

Observații

Dacă $A$ este de tip $m\times n$ , atunci $A^{t}$ este de tip $n\times m$ .
O matrice coloană devine matrice linie după transpunere.
O matrice linie devine matrice coloană după transpunere.
O matrice pătratică își păstrează ordinul după transpunere.

Vezi și

Legături externe

MIT Algebră liniară: despre transpusele matricelor (engleză)
Transpose de la MathWorld
Transpose Arhivat în 8 martie 2016, la Wayback Machine., PlanetMath

Bibliografie

MATEMATICĂ Manual pentru clasa a XI-a Trunchi comun + curriculum diferențiat, Editura Carminis, 2006, ISBN 978-973-123-417-5.
Gabriela Streinu-Cercel, Gabriela Constantinescu, Gabriela Oprea ș.a., Matematică M1: manual pentru clasa a XI-a, Editura Sigma, 2006, ISBN 978-973-649-264-8.