Factor Lorentz

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Factorul Lorentz sau termenul Lorentz apare în câteva ecuații din teoria relativității restrânse, inclusiv dilatarea temporală, contracția distanțelor, și formula masei relativiste. Datorită frecvenței sale de apariție, fizicienii o reprezintă în general cu simbolul prescurtat γ. Factorul Lorentz își trage numele de la Hendrik Lorentz.[1]

Este definit ca:

\gamma \equiv \frac{c}{\sqrt{c^2 - u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}

...unde:

\beta = \frac{u}{c} este viteza raportată la viteza luminii,
u este viteza raportată în sistemul de referință unde este măsurat timpul t
τ este timpul propriu, și
c este viteza luminii.

Aproximări[modificare | modificare sursă]

Factorul Lorentz are următoarea serie Maclaurin:

\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...

Aproximarea γ ≈ 1 + 1/2 β2 se folosește uneori pentru a calcula efectele relativiste la viteze mici. Eroarea este de 1% pentru v < 0.4 c (v < 120,000 km/s), și de maxim 0.1% pentru v < 0.22 c (v < 66,000 km/s).

Versiunile trunchiate ale acestei serii permit fizicienilor să demonstreze că teoria relativității restrânse se reduce la mecanica newtoniană la viteze reduse. De exemplu, în relativitatea restrânsă, sunt valabile următoarele ecuații:

\vec p = \gamma m \vec v
E = \gamma m c^2 \,

Pentru γ ≈ 1 și γ ≈ 1 + 1/2 β2, respectiv, acestea se reduc la formulele newtoniene echivalente:

\vec p = m \vec v
 E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2

Ecuația factorului Lorentz poate fi și inversată pentru a da:

\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}

Aceasta are forma asimptotică:

\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ...

Primii doi termeni sunt uneori folosiți pentru a calcula rapid viteze pentru valori mari ale lui γ. Aproximarea β ≈ 1 - 1/2 γ-2 are o eroare de maxim 1% pentru γ > 2, și 0.1% eroare pentru γ > 3.5.

Valori[modificare | modificare sursă]

Factorul Lorentz în funcţie de viteză. Începe la valoarea 1 şi tinde la infinit pentru v\to c.
Viteza factorul Lorentz inversul
\beta = v/c \gamma 1/\gamma
0.010 1.000 1.000
0.100 1.005 0.995
0.200 1.021 0.980
0.300 1.048 0.954
0.400 1.091 0.917
0.500 1.155 0.866
0.600 1.250 0.800
0.700 1.400 0.714
0.800 1.667 0.600
0.866 2.000 0.500
0.900 2.294 0.436
0.990 7.089 0.141
0.999 22.366 0.045

Rapiditatea[modificare | modificare sursă]

Dacă tanh r = β, atunci γ = cosh r. Aici, unghiul hiperbolic r este cunoscut sub numele de rapiditate. Rapiditatea are proprietatea că rapiditățile relative sunt aditive, proprietate utilă, pe care viteza nu o are. Uneori (mai ales în discuțiile despre viteză superluminică) γ este scris Γ (gamma mare) și nu γ (gamma mic).

Factorul Lorentz se aplică în dilatarea temporală, contracția distanțelor și masa relativistă, relativă la masa în repaus în relativitatea restrânsă. Un obiect în mișcare față de un observator va fi văzut ca mișcându-se mai încet, datorită înmulțirii cu gamma a timpului său propriu. Tot atunci, lungimea lui este mai scurtă, ca și cum lungimea sa a fost împărțită la γ.

Cu γ se mai notează rareori și \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1 - \beta^2}. Aceasta va face simbolul γ ambiguu, astfel că mulți autori preferă să evite posibila confuzie scriind termenul Lorentz explicit.

Calcul[modificare | modificare sursă]

Unul din postulatele fundamentale din teoria relativității restrânse a lui Einstein este că toți observatorii inerțiali vor măsura aceeași viteză a luminii în vid indiferent de mișcarea lor reciprocă sau relativă la sursa de lumină. Să ne imaginăm doi observatori: primul, observatorul A, se deplasează cu viteza constantă v în raport cu un al doilea sistem de referință inerțial în care observatorul B este în repaus. A îndreaptă un laser "în sus" (perpendicular cu direcția de deplasare). Din perspectiva lui B, lumina se deplasează în unghi. După o perioadă de timp t_B, A s-a deplasat (din punctul de vedere al lui B) pe o distanță d = v t_B; lumina a călătorit (tot din punctul de vedere al lui B) o distanță d = c t_B în unghi. Componenta verticală a drumului d_t al luminii poate fi rezolvată prin teorema lui Pitagora.

d_t = \sqrt{(c t  _B)^2 - (v t_B)^2}

Scoțând factor comun ct_B rezultă,

d_t = c t _B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}

Această distanță este aceeași pe care o vede A ca parcursă de lumină. Deoarece lumina se deplasează cu viteza c, timpul lui A, t_A, va fi egal cu \frac{d_t}{c}. Deci

t_A = \frac{c t_B \sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}{c}

care se reduce la

t_A = t_B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Un univers, de Neil deGrasse Tyson, Charles Tsun-Chu Liu, și Robert Irion.

Vezi si[modificare | modificare sursă]

Transformare Lorentz

Bibliografie[modificare | modificare sursă]