Câmp scalar

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Acest articol se referă la o noțiune din calculul vectorial. Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).

În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

unde  

Suprafață de nivel[modificare | modificare sursă]

Dându-se un punct fix    suprafața de ecuație:

se numește suprafață de nivel a câmpului    atașată punctului  

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin    unde    este un vector unitar constant, iar    este vectoruarl de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe   

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul    este planul perpendicular pe    și care are ecuația:

  unde   

Derivata după o direcție[modificare | modificare sursă]

Fie o curbă    care trece printr-un punct    Dacă există limita:

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor    în punctul   

unde    este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar    este abscisa curbilinie a punctului    față de   

Notând cu    versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin    și cu    unghiul dintre    și    există relația:

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

Dacă    sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția    atunci:

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Pentru calculul derivatei lui    în punctul    și după direcția    se fac calculele:

Vectorul unitar în direcția    este:

Deci:

Gradientul unui câmp scalar[modificare | modificare sursă]

Dacă    sunt componentele versorului    în cazul unui spațiu tridimensional:

Vectorul de componente    se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil    în punctul    și se notează   

Există relațiile:

Operatorul diferențial vectorial:

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

Derivata în raport cu un vector[modificare | modificare sursă]

Fie    un vector de mărime u și versor    adică    Dacă se notează    atunci expresia:

se numește derivata funcției    în raport cu vectorul  

Vezi și[modificare | modificare sursă]