Funcție

Pentru alte sensuri, vezi Funcție (dezambiguizare).

Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul $\{ 1, 2, 3, 4 \}$ și codomeniul $\{ a, b, c, d \}$

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Definiție formală

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian : G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea ( x, y ) se află în F.
2. Pentru oricare două perechi ( x₁ , y₁ ) și ( x₁, y₂ ) din F avem y₁ = y₂.

Funcțiile pot fi definite astfel:

• Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
• Prin formulă : f : R → R ; f ( x ) = 3.x - 1

Imaginea funcției

Imaginea unei funcții $f:A \to B$ este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile $f(x), \forall x \in A$. Se notează Im$f$ sau $f(A)$.

Im$f= \big\{ f(x)| x \in A \big\}$ sau

Im$f= \big\{ y \in B| \exists x \in A, f(x)=y \big\}$

Graficul funcției

Graficul funcției $f:A \to B$ G_f=$\big\{ (x,f(x)) | x \in A \big\}$

Proprietăți

Injectivitate

Injecție

Surjecție

Bijecție

Articol principal: Funcție injectivă.

O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:

1. $\forall x,y \in A, x \ne y$ atunci f(x)≠f(y) sau
2. $\forall x,y \in A, x \ne y$ dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O_x intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un astfel de exemplu este $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x)=x^2$. $\forall x,y \in \mathbb{N}$ x≠y presupune x² ≠ y², ceea ce înseamnă că f este injectivă.

Surjectivitate

O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, $\forall y \in B$, atunci $\exists x \in A$ astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la O_x printr-un punct $y \in B$ de pe O_y intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, f(x)=|x|, atunci $\forall y \in \mathbb{N}$ $y, -y \in \mathbb{Z}$ astfel încât f(y)=f(-y)=y

Bijectivitate

O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă $\forall y \in B$, $\exists x \in A$ unic astfel încât f(x)=y. ă

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O_x printr-un punct $y \in B$ de pe O_y intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, f(x)=x+3, atunci $\forall y \in \mathbb{Z}$ $\exists x \in \mathbb{Z}$ astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcții

O funcție $f:A \to B$ se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția $g:B \to A$ astfel încât $f \circ g = g \circ f = \mathbf{1}_A$. Atunci $g:B \to A$ se numește „inversa” funcției $f$ și se notează $f^{-1}$. Funcția $f$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

• Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
• Graficele funcțiilor $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația $y=x$.

Paritatea funcției

Funcția pară f(x)=x²

Funcția impară f(x)=x³

O funcție cu valori reale, $f:A \to B$ unde $B \subseteq \mathbb{R}$, se numește „pară” dacă $\forall x \in A, f(x)=f(-x)$. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa O_y.

O funcție $f:A \to B$ cu valori reale se numește „impară” dacă

1. $\forall x \in A, f(x)=-f(-x)$ sau
2. $\forall x \in A, f(x)+f(-x)=0$.

Graficul unei funcții pare este simetric față de origine.

Proprietăți

• Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
• Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
• Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
• Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
• Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
• Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
• Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Referiri

• The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
• Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
• xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
• Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
• Functions from cut-the-knot.
• Function at ProvenMath.
• Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool.
• FunctionGame, an educational interactive function guessing game.
• Curvas