Teoria mulțimilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Diagramă Venn ilustrând operația de intersecție a elementelor a două mulțimi. Partea comună ambelor cercuri este intersecția acestora.

Teoria mulțimilor este un domeniu al matematicii care studiază conceptul de mulțime. Studiul sistematic a fost inițiat de Georg Cantor și Richard Dedekind.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Filosofii Greciei antice adoptau despre infinit noțiunile:

  • infinit actual: o infinitate de obiecte concepute ca existând simultan;
  • infinit potențial: o mulțime sau o mărime finită, dar care se poate mări oricât de mult.

Zenon, prin faimoasele sale aporii (paradoxuri) atrage atenția asupra consecințelor absurde care par să apară introducând infinitul actual în raționamente. De aceea se considera că infinitul actual nu este accesibil intuiției și doar infinitul potențial poate fi utilizat în raționamentele matematice.

În lucrarea Teoria rațională a infinității, Cantor a depășit această contradicție încercând să numere infinitul. Emite ideea de a număra mulțimile cu ajutorul funcțiilor bijective: Două mulțimi sunt la fel de mari (echipotente) dacă există o bijecție între ele. Astfel se obțin rezultate precum: mulțimea numerelor naturale este echipotentă cu mulțimea numerelor raționale ceea ce contrazice percepția obișnuită conform căreia întregul este mai mare decât partea, afirmație care nu mai este valabilă în cazul mulțimilor infinite.

Astfel se poate demonstra că există la fel de multe puncte pe un segment de dreaptă (o mulțime mărginită de puncte sau un interval) câte sunt pe o dreaptă (o mulțime nemărginită de puncte), sau pe întregul plan (o altă mulțime nemărginită).

Introducere[modificare | modificare sursă]

Mulțimea poate fi descrisă simplu în următorul mod: o totalitate de obiecte bine determinate și distincte, numite și elementele mulțimii. Este o noțiune primitivă.

Mulțimile se notează cu literele mari ale alfabetului latin: A, B, C, D etc.

Elementele unei mulțimi se scriu între acolade:

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Mulțimea cu niciun element se numește mulțime vidă și se notează cu zero tăiat „Ø”. Mulțimea cu un singur element se numește singleton (matematică) sau mulțime singulară.

Vezi și[modificare | modificare sursă]