Teorema lui Cantor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Nu confundați cu Teorema Cantor-Bernstein.

Teorema lui Cantor este o teoremă matematică din domeniul teoriei mulțimilor.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie A o mulțime nevidă și mulțimea părților acesteia. Atunci cardinalul lui A este strict mai mic decât cardinalul lui

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie funcția oarecare:

f: A →

Trebuie să demonstrăm că f nu poate fi surjectivă. Pentru aceasta e suficient să determinăm o submulțime a lui A care să nu fie imaginea lui f.

Considerăm mulțimea

Pentru a arăta că B nu este imaginea lui f, să presupunem prin absurd că B este imaginea lui f. Atunci pentru un avem . Avem cazurile:

  •  :

atunci deci

atunci deci

În ambele cazuri obținem o contradicție. Aceasta dovedește că B nu este imaginea lui f, deci f nu este surjectivă.

Deci mulțimile A și nu sunt echipotente.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • en Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926
  • en Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]