Algebră booleană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Algebra booleană, numită și Logica booleană, este numită așa după matematicianul englez George Boole. Ea este o algebră formată din:

  • elementele {0,1};
  • 2 operații binare numite SAU și SI, notate simbolic cu + sau Ú și × sau U;
  • 1 operatie unară numită NU (negație), notată simbolic 0 sau O.

Operații[modificare | modificare sursă]

Operațiile se definesc astfel:

ȘI; SAU; NU

  • 0 × 0 = 0; 0 + 0 = 0; 0 = 1.
  • 0 × 1 = 0; 0 + 1 = 1; 1 = 0:
  • 1 × 0 = 0; 1 + 0 = 1.
  • 1 × 1 = 1; 1 + 1 = 1.

Axiome[modificare | modificare sursă]

Axiomele algebrei booleene sunt următoarele: Fie o mulțime M compusă din elementele x1, x2,...xn, împreună cu operațiile × si +. Această mulțime formează o algebră dacă:

Mulțimea M conține cel puțin 2 elemente distincte x1 1 x2 (x1,x2I M);

Pentru x1 I M, x2 I M avem:

x1 + x2 I M și x1 × x2 I M

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Operațiile × si + au urmatoarele proprietati:

sunt comutative

x1 × x2 = x2 × x1

x1 + x2 = x2 + x1

sunt asociative

x1 × (x2 × x3) = (x1 × x2) × x3

x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3

sunt distributive una față de cealaltă

x1 × (x2 + x3) = x1 × x2 + x1 × x3

x1 + (x2 × x3) = (x1 + x2) × (x1 + x3)

Ambele operații admit câte un element neutru cu proprietatea:

x1 + 0 = 0 + x1 = x1

x1 × 1 = 1 × x1 = x1

unde 0 este elementul nul al mulțimii, iar 1 este elementul unitate al mulțimii. Dacă mulțimea M nu conține decât două elemente, acestea trebuie să fie obligatoriu elementul nul 0 și elementul unitate 1; atunci pentru " x I M există un element unic notat cu x, cu proprietățile: x × x = 0 principiul contradicției x + x = 1 principiul terțului exclus x este inversul elementului x.

În definirea axiomatică a algebrei booleene s-au folosit diferite notații. In tabelul următor se dau denumirile și notațiile specifice folosite pentru diverse domenii:

Matematică, Logică, Tehnică

Prima lege de compoziție

x1 + x2

Disjunctie

x1 Ú x2

SAU

x1 + x2

A doua lege de compoziție

x1 × x2

Conjuncție

x1 U x2

SI

x1 × x2

Elementul invers

x

Negare

Ox

NU

x

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Crăciun, D., Logică și teoria argumentării, Editura Tehnică, București, 2000.

Legături externe[modificare | modificare sursă]