Algebră boreliană

Algebra boreliană este un concept al matematicii, utilizat în topologie și teoria măsurii. Numele se datorează matematicianului francez Émile Borel.

Definiție

Fie $\Omega \,$ un spațiu topologic. Atunci algebra boreliană asociată este sigma-algebră minimă care conține mulțimile deschise din $\Omega \,$ .

O altă definiție (neechivalentă cu prima!) se obține înlocuind termenul de mulțime deschisă cu cel de mulțime compactă.

Generarea algebrei boreliene

În cazul particular în care $\Omega \,$ este spațiu metric, algebra boreliană poate fi descrisă astfel:

Fie ${\mathcal {P}}(\Omega )$ mulțimea părților lui $\Omega \,$ . Definim:

• $T_{\sigma }\quad$ toate reuniunile de mulțimi numărabile din ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ,

• $T_{\delta }\quad$ toate intersecțiile de mulțimi numărabile din ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ,

• $T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }$ .

Definim prin inducție un șir $G^{n}\,$ unde $n\in \mathbb {N}$ astfel:

• $G^{0}=$ mulțimea tuturor mulțimilor deschise din $\Omega$ .

• $G^{i}={G^{i-1}}_{\sigma \omega }$ .

• $G^{i}=\bigcup _{j<i}{G^{j}}$ .

Astfel, algebra boreliană este $G^{n}$ pentru un n indefinit (care tinde la infinit), așadar această algebră poate fi generată plecând de la mulțimea mulțimilor deschise și iterând operația:

$G\mapsto G_{\delta \sigma }$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Edituira Enciclopedică Română, București, 1974
• Ion, I.D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Legături externe

• ro Curs al Universității din București. Arhivat în 14 ianuarie 2005, la Wayback Machine.

• en Algebra boreliană la Wolfram MathWorld.

• en Algebra boreliană la PlanetMath. Arhivat în 6 octombrie 2007, la Wayback Machine.