Teoria categoriilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Reprezentare schematică a unei categorii cu obiecte X, Y, Z și morfisme f, g, gf. (Categoria trei de identitate morfisme 1X, 1Y și 1Z, dacă în mod explicit reprezentat, ar apărea ca trei săgeți, lângă literele X, Y, și Z, respectiv, fiecare având ca "arbore" un arc de cerc de măsurare de aproape 360 de grade.)

Teoria categoriilor[1] formalizează structura matematica și conceptele în ceea ce privește o colecție de obiecte și de săgeți (de asemenea, numite morfisme). O categorie are două proprietăți de bază: capacitatea de a compune săgețile prin asociere și existența unei identități săgeată pentru fiecare obiect. Limbajul din teoria categoriilor a fost folosit pentru a formaliza concepte ale altor abstracțiuni de nivel înalt cum ar fi seturi, inele, și grupuri.

Mai mulți termeni utilizați în teoria categoriilor, inclusiv termenul de "morfism", sunt utilizați în mod diferit de la utilizările lor în restul matematicii. În teoria categoriilor, morfismele se supun la condiții specifice teoriei categoriilor.

Samuel Eilenberg și Saunders Mac Lane au introdus conceptele de categorii, functori, și transformări naturale în 1942-45 în studiul lor de topologie algebrică, cu scopul de a înțelege procesele care păstrează o structură matematică.

Teoria categorie are aplicații practice în teoria limbajelor de programare, în special pentru studiul de monade în programarea funcțională.

Functori[modificare | modificare sursă]

Functorii sunt structuri de conservare a legăturilor între categorii. Acestea pot fi considerate ca morfisme in categoria tuturor (micilor) categorii.

Transformări naturale[modificare | modificare sursă]

O transformare naturală este o relație între doi functori. Functorii descriu adesea "construcții naturale" și transformările naturale apoi descriu "homomorfisme naturale" între două astfel de construcții. Uneori două construcții destul de diferite prezintă "același" rezultat; acest lucru este exprimat de un izomorfism natural între doi functori.

Note istorice[modificare | modificare sursă]

În 1942-45, Samuel Eilenberg și Saunders Mac Lane au introdus categoriile, functorii si transformarile naturale ca parte din munca lor în topologie, mai ales topologia algebrică. Munca lor a fost o parte importantă a tranziției de la omologia intuitiva și geometrica către teoria axiomatica omologica. Eilenberg și Mac Lane a scris mai târziu că scopul lor a fost de a înțelege transformările naturale. Aceasta a necesitat definirea de functori, care a necesitat categorii.

Teoria categoriilor a fost aplicată si în alte domenii. De exemplu, John Baez a arătat o legătură între diagramele Feynman în Fizică și categoriile monoidale.[2] O altă aplicație din teoria categoriilor, mai precis: teoria topologiilor, a generat teoria muzicii in matematică, vezi de exemplu cartea Topologia Muzicii, Logica Geometrica a Conceptelor, Teorii și Utilizari de Guerino Mazzola.

Vezi si[modificare | modificare sursă]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (ed. 2nd). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. https://books.google.com/books?id=zLs8BAAAQBAJ 
  2. ^ Baez, J.C.; Stay, M. (2009). „Physics, topology, logic and computation: A Rosetta stone” (PDF). http://math.ucr.edu/home/baez/rosetta.pdf. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]