Cub (algebră)

$y = x 3$ pentru valori ale lui $1 \leq x \leq 25$ .

În aritmetică și algebră, cubul unui număr este puterea a treia a acelui număr, adică rezultatul înmulțirii a trei valori egale cu acel număr. Cubul unui număr $n$ se notează cu $n 3$ , folosind un 3 la exponent,^[a] de exemplu 2³ = 8. Operația de ridicare la cub poate fi definită și pentru orice altă expresie matematică, de exemplu $(x + 1) 3$ .

Cubul este și numărul înmulțit cu pătratul său:

n 3 = n \times n 2 = n \times n \times n

.

Funcția cub este funcția $x \mapsto x 3$ (notată adesea $y = x 3$ ) care asociază fiecărui număr cubul său. Ea este o funcție impară, deoarece

(- n) 3 = -(n 3)

.

Volumul unui cub geometric este cubul lungimii laturii sale, de aici și numele. Operația inversă, care constă în găsirea unui număr al cărui cub este $n$ , se numește extragerea rădăcinii cubice a lui $n$ . În sens geometric, ea reprezintă determinarea laturii unui cub cu volumul dat. Este, de asemenea, $n$ ridicat la puterea o treime ( ${\frac {1}{3}}$ ).

Graficul funcției cub este cunoscut drept parabolă cubică. Deoarece funcția cub este impară, această curbă este simetrică față de origine, dar nu are o axă de simetrie.

În mulțimea numerelor întregi

Un cub perfect este un număr care este cubul unui număr întreg. Cuburile perfecte nenegative până la 60³ constituie Șirul A000578 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS):

0³ =	0
1³ =	1	11³ =	1331	21³ =	9261	31³ =	29,791	41³ =	68,921	51³ =	132,651
2³ =	8	12³ =	1728	22³ =	10,648	32³ =	32,768	42³ =	74,088	52³ =	140,608
3³ =	27	13³ =	2197	23³ =	12,167	33³ =	35,937	43³ =	79,507	53³ =	148,877
4³ =	64	14³ =	2744	24³ =	13,824	34³ =	39,304	44³ =	85,184	54³ =	157,464
5³ =	125	15³ =	3375	25³ =	15,625	35³ =	42,875	45³ =	91,125	55³ =	166,375
6³ =	216	16³ =	4096	26³ =	17,576	36³ =	46,656	46³ =	97,336	56³ =	175,616
7³ =	343	17³ =	4913	27³ =	19,683	37³ =	50,653	47³ =	103,823	57³ =	185,193
8³ =	512	18³ =	5832	28³ =	21,952	38³ =	54,872	48³ =	110,592	58³ =	195,112
9³ =	729	19³ =	6859	29³ =	24,389	39³ =	59,319	49³ =	117,649	59³ =	205,379
10³ =	1000	20³ =	8000	30³ =	27,000	40³ =	64,000	50³ =	125,000	60³ =	216,000

Din punct de vedere geometric, un număr întreg pozitiv $m$ este un cub perfect dacă și numai dacă se pot aranja $m$ cuburi unitare pentru a forma un cub mai mare. De exemplu, 27 de cuburi mici pot fi aranjate într-unul mai mare cu aspectul unui cub Rubik, deoarece 3 × 3 × 3 = 27.

Diferența dintre cuburile unor numere întregi consecutive poate fi exprimată astfel:

n 3 - (n - 1) 3 = 3(n - 1) n + 1

.

sau

(n + 1) 3 - n 3 = 3(n + 1) n + 1

.

Nu există un cub perfect minim, deoarece cubul unui număr întreg negativ este negativ. De exemplu, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

În baza zece

Spre deosebire de pătratele perfecte, cuburile perfecte nu au un număr restrâns de posibilități pentru ultimele două cifre. Cu excepția cuburilor divizibile cu 5, ale căror ultime cifre pot fi doar 25, 75 și 00, orice pereche de cifre cu ultima cifră impară poate apărea drept ultimele două cifre ale unui cub perfect. În cazul cuburilor pare, restricțiile sunt considerabile: doar 00, $o$ 2, $e$ 4, $o$ 6 și $e$ 8 pot fi ultimele două cifre ale unui cub perfect (unde $o$ reprezintă orice cifră impară și $e$ orice cifră pară). Unele cuburi perfect sunt și pătrate perfecte; de exemplu, 64 care este pătrat (8 × 8), cât și un cub perfect (4 × 4 × 4). Aceasta se întâmplă dacă și numai dacă numărul este o putere a șasea perfectă (în acest caz 2⁶).

Ultimele cifre ale fiecărei puteri a treia sunt:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Totuși, este ușor de arătat că majoritatea numerelor nu sunt cuburi perfecte, deoarece toate cuburile perfecte trebuie să aibă rădăcină digitală 1, 8 sau 9. Adică valorile lor modulo 9 pot fi doar 0, 1 sau 8. Mai mult, rădăcina digitală a cubului oricărui număr poate fi determinată din restul pe care îl dă la împărțirea la 3:

Dacă numărul $x$ este divizibil cu 3, atunci cubul său are rădăcină digitală 9; adică,
${\text{dacă}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{atunci}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (de fapt}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};$
Dacă are restul 1 la împărțirea la 3, cubul său are rădăcină digitală 1; adică,
${\text{dacă}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{atunci}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$
Dacă are restul 2 la împărțirea la 3, cubul său are rădăcină digitală 8; adică,
${\text{dacă}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{atunci}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.$

Sume a trei cuburi

Se presupune că orice număr întreg (pozitiv sau negativ) care nu este congruent cu $\pm4$ modulo $9$ poate fi scris ca sumă a trei cuburi (pozitive sau negative) în infinit de multe moduri.^[1] De exemplu, $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ . Numerele întregi congruente cu $\pm4$ modulo $9$ sunt excluse, deoarece nu pot fi scrise ca sumă a trei cuburi.

Cel mai mic astfel de număr întreg pentru care o asemenea sumă nu este cunoscută este 114. În septembrie 2019, precedentul cel mai mic astfel de număr fără o sumă cunoscută de 3 cuburi, 42, s-a dovedit a satisface această ecuație:^[2]

42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.

O soluție pentru $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ este dată în tabelul de mai jos pentru $n \leq 78$ , iar $n$ nu este congruent cu $4$ sau $5$ modulo $9$ . Soluția selectată este cea care este primitivă ( $cmmdc(x, y, z) = 1$ ), nu este de forma $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ sau $(n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}$ (deoarece acestea sunt familii infinite de soluții), satisface $0 \leq | x | \leq | y | \leq | z |$ , și are valori minime pentru $| z |$ și $| y |$ (testate în această ordine).^[3]^[4]^[5]

Sunt selectate doar soluțiile primitive, deoarece cele neprimitive pot fi deduse trivial din soluții pentru o valoare mai mică a lui $n$ . De exemplu, pentru $n = 24$ , soluția $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ rezultă din soluția $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ prin înmulțirea tuturor termenilor cu $8=2^{3}.$ Prin urmare, aceasta este o altă soluție care este selectată. În mod similar, pentru $n = 48$ , soluția $('x', y, z) = (-2, -2, 4)$ este exclusă, iar aceasta este soluția $('x, y, z) = (-23, -26, 31)$ care este selectată.

Teorema lui Fermat pentru cuburi

Ecuația $x 3 + y 3 = z 3$ nu are soluții netriviale (adică $xyz \neq 0$ ) în mulțimea numerelor întregi, și nici în mulțimea numerelor întregi Eisenstein.^[6]

Ambele afirmații sunt adevărate și pentru ecuația^[7] $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

Suma primelor n cuburi

Suma primelor $n$ cuburi este pătratul celui de-al $n$ -lea număr triunghiular:

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.

Demonstrații. Charles Wheatstone (1854) oferă o demonstrație deosebit de simplă, prin descompunerea fiecărui cub din sumă într-un șir de numere impare consecutive. El începe prin a da identitatea

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ numere impare consecutive}}}.

Acea identitate este legată de numerele triunghiulare $T_{n}$ în felul următor:

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

și astfel termenii care formează $n^{3}$ încep imediat după cei care formează toate valorile anterioare, de la $1^{3}$ până la $(n-1)^{3}$ . Aplicând această proprietate, împreună cu o altă identitate bine-cunoscută:

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

obținem următoarea derivare:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

În literatura matematică mai recentă, Stein (1971) folosește interpretarea acestor numere ca numărarea dreptunghiurilor pentru a obține o demonstrație geometrică a identității (vezi și Benjamin, Quinn & Wurtz 2006. ); el observă că aceasta poate fi demonstrată ușor (dar fără multă intuiție) prin inducție și afirmă că Toeplitz (1963) oferă „o demonstrație arăbească veche interesantă”. Kanim (2004) oferă o demonstrație pur vizuală, Benjamin & Orrison (2002) oferă alte două demonstrații, iar Nelsen (1993) oferă șapte demonstrații geometrice.

De exemplu, suma primelor 5 cuburi este pătratul celui de al cincilea număr triunghiular,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

Un rezultat similar poate fi dat pentru suma primelor $y$ cuburi impare,

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

dar $x$ , $y$ trebuie să satisfacă ecuația negativă a lui Pell $x 2 - 2 y 2 = -1$ . De exemplu, pentru $y = 5$ și $29$ , avem

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

și așa mai departe. De asemenea, orice număr perfect par, cu excepția celui mai mic, este suma primelor $2 p -1 / 2 ⁠(d)$ cuburi impare (p = 3, 5, 7, ...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}

Suma cuburilor unor numere în progresie aritmetică

Există exemple de cuburi ale numerelor aflate în progresie aritmetică a căror sumă este un cub:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

primul dintre ele fiind uneori identificat cu misteriosul număr al lui Platon. Formula $F$ pentru suma a $n$ cuburi ale numerelor aflate în progresie aritmetică cu diferența comună $d$ și cubul inițial $a 3$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}

este dată de

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})

O soluție parametrică pentru

F(d,a,n)=y^{3}

este cunoscută pentru cazul special $d = 1$ , adică pentru cuburi consecutive, așa cum a fost găsită de Pagliani în 1829.^[8]

Cuburile ca sume de numere impare consecutive

În șirul numerelor impare 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., primul număr este un cub (1 = 1³); suma următoarelor două este următorul cub (3 + 5 = 2³); suma următoarelor trei este următorul cub (7 + 9 + 11 = 3³); și așa mai departe.

Problema lui Waring pentru cuburi

Orice număr întreg pozitiv poate fi scris ca sumă a nouă (sau mai puține) cuburi pozitive. Această limită superioară de nouă cuburi nu poate fi redusă, deoarece, de exemplu, 23 nu poate fi scris ca sumă a mai puțin de nouă cuburi pozitive:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

În mulțimea numerelor raționale

Orice număr rațional pozitiv este suma a trei cuburi raționale pozitive,^[9] iar există numere raționale care nu sunt suma a două cuburi raționale.^[10]

În mulțimea numerelor reale, în alte corpuri și inele

În mulțimea numerelor reale, funcția cub păstrează ordinea: numerele mai mari au cuburi mai mari. Cu alte cuvinte, cuburile cresc (strict) monoton. De asemenea, codomeniul său este întreaga axă reală: funcția $x \mapsto x 3 : R \to R$ este o surjecție (ia toate valorile posibile). Doar trei numere sunt egale cu propriile lor cuburi: −1, 0 și 1. Dacă $-1 < x < 0$ sau $1 < x$ , atunci $x 3 > x$ . Dacă $x < -1$ sau $0 < x < 1$ , atunci $x 3 < x$ . Toate proprietățile menționate se aplică și oricărei puteri impare superioare ( $x 5$ , $x 7$ , ...) a numerelor reale. Egalitățile și inegalitățile sunt adevărate și în orice inel ordonat.

Volumele similare ale corpurilor euclidiene sunt raportate ca cuburi ale mărimilor lor liniare.

În mulțimea numerelor complexe, cubul unui număr pur imaginar este tot un număr pur imaginar. De exemplu, $i 3 = - i$ .

Derivata lui $x 3$ este $3 x 2$ .

Funcția cub are, ocazional, proprietatea surjectivă și în alte corpuri, cum ar fi în $F p$ pentru acele numere prime $p$ pentru care $p \neq 1 (mod 3)$ ,^[11] dar nu neapărat: vezi contraexemplul cu numerele raționale de mai sus. De asemenea, în $F 7$ doar trei elemente (0 și ±1) sunt cuburi perfecte, din cele șapte elemente totale. −1, 0 și 1 sunt cuburi perfecte „oriunde” și singurele elemente ale unui corp egale cu propriile lor cuburi: $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ .

Istorie

Determinarea cuburilor numerelor mari era foarte comună în multe civilizații antice. Matematicienii mesopotamieni au creat tăblițe cuneiforme cu tabele pentru calculul cuburilor și rădăcinilor cubice încă din perioada Vechiului Babilon (secolele al XX-lea–al XVI-lea î.e.n.).^[12]^[13] Ecuațiile cubice erau cunoscute de matematicianul grec antic Diofant.^[14] Heron din Alexandria a elaborat o metodă pentru calculul rădăcinilor cubice în secolul I e.n.^[15] Metode pentru rezolvarea ecuațiilor cubice și extragerea rădăcinilor cubice apar în Nouă capitole despre arta matematică, un text matematic chinezesc compilat în jurul secolului al II-lea î.e.n. și comentat de Liu Hui^⁠(d) în secolul al III-lea e.n.^[16]

Note de completare

↑ Caracterul Unicode superscript^⁠(d) Format:Char este, de asemenea, disponibil pentru tipărire: n³.

Note bibliografice

↑ Huisman, Sander G. (27 d.Hr.). „Newer sums of three cubes”. arXiv:1604.07746  [math.NT].
↑ Booker, Andrew R.; Sutherland, Andrew V. (2021). „On a question of Mordell”. Proceedings of the National Academy of Sciences. 118 (11). arXiv:2007.01209 . Bibcode:2021PNAS..11822377B. doi:10.1073/pnas.2022377118 . PMC 7980389 . PMID 33692126. Parametru necunoscut |article-number= ignorat (ajutor)
↑ Secvențele Format:OEIS link, Format:OEIS link și Format:OEIS link din OEIS
↑ Threecubes
↑ n=x^3+y^3+z^3
↑ Hardy & Wright, Thm. 227
↑ Hardy & Wright, Thm. 232
↑ Bennett, Michael A.; Patel, Vandita; Siksek, Samir (2017), „Perfect powers that are sums of consecutive cubes”, Mathematika, 63 (1): 230–249, arXiv:1603.08901 , doi:10.1112/S0025579316000231, MR 3610012
↑ Hardy & Wright, Thm. 234
↑ Hardy & Wright, Thm. 233
↑ Grupul multiplicativ al lui $F p$ este grup ciclic de ordin $p - 1$ , iar dacă acesta nu este divizibil cu 3, atunci cuburile definesc un automorfism de grup.
↑ Cooke, Roger (8 noiembrie 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
↑ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
↑ Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN: 0-387-12159-5
↑ Smyly, J. Gilbart (1920). „Heron's Formula for Cube Root”. Hermathena. Trinity College Dublin. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.
↑ Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

[1] Caracterul Unicode superscript^⁠(d) Format:Char este, de asemenea, disponibil pentru tipărire: n³.

[2] Huisman, Sander G. (27 d.Hr.). „Newer sums of three cubes”. arXiv:1604.07746  [math.NT].

[3] Booker, Andrew R.; Sutherland, Andrew V. (2021). „On a question of Mordell”. Proceedings of the National Academy of Sciences. 118 (11). arXiv:2007.01209 . Bibcode:2021PNAS..11822377B. doi:10.1073/pnas.2022377118 . PMC 7980389 . PMID 33692126. Parametru necunoscut |article-number= ignorat (ajutor)

[4] Secvențele Format:OEIS link, Format:OEIS link și Format:OEIS link din OEIS

[5] Threecubes

[6] =x^3+y^3+z^3

[7] Hardy & Wright, Thm. 227

[8] Hardy & Wright, Thm. 232

[9] Bennett, Michael A.; Patel, Vandita; Siksek, Samir (2017), „Perfect powers that are sums of consecutive cubes”, Mathematika, 63 (1): 230–249, arXiv:1603.08901 , doi:10.1112/S0025579316000231, MR 3610012

[10] Hardy & Wright, Thm. 234

[11] Hardy & Wright, Thm. 233

[12] Grupul multiplicativ al lui $F p$ este grup ciclic de ordin $p - 1$ , iar dacă acesta nu este divizibil cu 3, atunci cuburile definesc un automorfism de grup.

[13] Cooke, Roger (8 noiembrie 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-14] Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.

[15] Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN: 0-387-12159-5

[16] Smyly, J. Gilbart (1920). „Heron's Formula for Cube Root”. Hermathena. Trinity College Dublin. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.

[oxf-17] Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]