Număr prim

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un număr prim este un număr natural care are exact doi divizori: numărul 1 și numărul în sine. Cel mai mic număr prim este 2, în afară de 2 toate numerele prime sunt numere impare.

Definiție[modificare | modificare sursă]

  • Un număr natural p > 1 se numește prim[1] dacă : p | ab atunci p | a sau p | b, unde a, b sunt numere naturale. De exemplu 15 | 3 . 5, dar 15 3, 15 5, adică 15 nu este număr prim. Aceasta este o proprietate esențială a numerelor prime, iar cele două definiții sunt echivalente pentru inelul , dar nu sunt echivalente în orice inel integru.
  • Mulțimea numerelor prime poate fi denumita MP={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... infinit} si se poate indexa cu indecsi naturali consecutivi astfel: MP={P(1)=2, P(2)=3, P(3)=5, P(4)=7, P(5)=11, P(6)=13, P(7)=17, P(8)=19, P(9)=23,....P(n), P(n+1), ...P(infinit)}, cu P(n) fiind al n-lea numar prim din sirul/multimea numerelor prime MP (care este o multime cu o infinitate de elemente).
  • Există de asemenea și o infinitate de subtipuri posibile de numere prime. Un subtip special de numere prime îl constituie numerele prime cu indecși la randul lor primi (alias "prime-index primes" sau "super-primes"). De exemplu, se poate forma o submultime (infinita) MP1 din MP extragand toate acele elemente din MP care au indecsi primi la randul lor: MP1={P(2)=3, P(3)=5, P(5)=11, P(7)=17, ... P(al n-lea numar prim), P(al [n+1]-lea numar prim)...P(infinit)}. MP1 se mai numeste si multimea(siru) super-primelor de ordinul 1 si se poate scrie si astfel: MP1={P(P(1))=P(2)=3, P(P(2))=P(3)=5, P(P(3))=P(5)=11, P(P(4))=P(7)=17, ...P(P(n))=P(al n-lea numar prim), P(P(n+1))=P(al [n+1]-lea numar prim), ...P(P(infinit))}.
  • Analog, se poate defini si MP2={P(P(P(1)))=P(P(2))=P(3)=5, P(P(P(2)))=P(P(3))=P(5)=11, ...P(P(P(n)))=P(P(al n-lea numar prim)), P(P(P(n+1)))=P(P(al [n+1]-lea numar prim)), ...P(P(P((infinit)))}. Iterativ, se poate defini si un numar super-prim de ordin x ca P(P(P...P(n)) (cu x functii P incluse una in alta) si MPx continand toate aceste numere pentru x apartinand multimii naturale N*={1, 2, 3, ...infinit} (Neil Fernandez 1999, URL2, URL3)

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • În anul 300 î.Hr. Euclid a demonstrat că există o infinitate de numere prime. Iată demonstrația: presupunând prin absurd că p ar fi cel mai mare număr prim, construim numărul n=2x3x5x......xp+1. Acesta nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, 5, ....., p, așadar sau este prim, sau are un divizor prim mai mare ca p, ceea ce contrazice presupunerea că p ar fi cel mai mare număr prim.
  • Nu se știe dacă există o infinitate de numere prime gemene (impare consecutive ca: [3, 5]; [41, 43]; [59, 61]; [101, 103] etc.).
  • Șirul numerelor prime începe cu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43...
  • Descompunerea în factori primi: orice număr natural n, n > 1 poate fi descompus în mod unic (până la o permutare a factorilor) ca produs finit de numere prime, și putem scrie descompunerea în factori primi distincți ai lui n unde sunt numere prime distincte.[2]
    • Exemplu : .
    • Pentru numerele întregi avem , unde .
  • Teorema lui Dirichlet: În progresia aritmetică a, a+q, a+2q, a+3q..., a+nq, .., cu a>0, q>0, numere naturale prime între ele există o infinitate de numere prime. Demonstrații elementare există pentru progresiile 4n+1 și 4n+3, iar cazul general are o demostrație elementară foarte lungă, iar altele sunt neelementare.[3]
  • Postulatul lui Bertrand: Dacă n > 1 este un număr natural atunci există un număr prim p cuprins între n și 2n, adică n < p < 2n.
  • Conjectura lui Andrica: Diferența radicalilor a două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât 1.[1]
  • Cel mai mare număr prim găsit până în prezent este 274.207.281- 1 și are peste 22 milioane de cifre.[2]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Enunțată de Dorin Andrica, profesor la Universitatea Babeș-Bolyai. Andrica's conjecture, Wolfram MathWorld.
  2. ^ hotnews.ro, 20 ianuarie 2016

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  1. ^ I.D. Ion ș.a. "Algebra pentru perfecționarea profesorilor" E.D.P. București,1983, p. 77 , 152.
  2. ^ I.D. Ion ș.a. "Algebra pentru perfecționarea profesorilor" E.D.P. București,1983, p. 77 , 152.
  3. ^ I. Creangă ș.a., "Introducere în teoria numerelor", E.D.P. București,1965.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]