Număr stella octangula

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Număr stella octangula
StellaOctangulaNumber.jpg
124 de bile magnetice aranjate în formă de octaedru stelat
Nr. total de termeniInfinit
Subșir alNumere poliedrice
Formula
Primii termeni1, 14, 51, 124, 245, 426, 679
Index OEIS

Un număr stella octangula sau număr octaedric stelat este un număr figurativ.[1]

Primele numere stella octangula:[1]

1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444, 4381, 5474, 6735, 8176, 9809, 11646, 13699, 15980, 18501, 21274, 24311, 27624, 31225, 35126, 39339, 43876, 48749, 53970, 59551, 65504, 71841, 78574, 85715, 93276, 101269, 109706, 118599, 127960.

Formule[modificare | modificare sursă]

Al n-lea număr stella octangula este dat de relația:[1][2][3]

Ecuația Ljunggren[modificare | modificare sursă]

Singurele două numere stella octangula care sunt și pătrate sunt și , care corespund la n = 1, respectiv n = 169.[1][2][4] Curba eliptică care descrie numerele stella octangula pătrate,

poate fi adusă la forma Weierstrass, echivalentă

prin schimbările de variabilă și .Deoarece cei doi factori n și numărului pătratic sunt numere relativ prime, ele trebuie să fie ele însele pătrate, iar o a doua schimbare de variabile și duce la ecuația Ljunggren:[4]

O teoremă a lui Siegel afirmă că orice curbă eliptică are un număr finit de soluții, iar Format:Harvs a făcut o demonstrație dificilă că singurele soluții întregi ale ecuației sunt (1,1) și (239,13), care corespund la cele două numere stella octangula amintite.[5] Louis J. Mordell a conjecturat că demonstrația poate fi simplificată, iar ulterior câțiva autori au publicat asemenea demonstrații.[4][6][7]

Alte aplicații[modificare | modificare sursă]

Numerele stella octangula apar într-o familie parametrică de cazuri la problema scărilor încrucișate în care lungimile și înălțimile scărilor și înălțimea punctului lor comun sunt toate întregi. În aceste cazuri, raportul dintre înălțimile celor două scări este un număr stella octangula.[8]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ a b c d Șirul A007588 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. ^ a b en Eric W. Weisstein, Stella Octangula Number la MathWorld.
  3. ^ en Conway, John; Guy, Richard (), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9 
  4. ^ a b c en Siksek, Samir (), Descents on Curves of Genus I (PDF), Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16–17 [nefuncțională].
  5. ^ de Ljunggren, Wilhelm (), „Zur Theorie der Gleichung x2 + 1 = Dy4”, Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., 1942 (5): 27, MR 0016375 .
  6. ^ en Steiner, Ray; Tzanakis, Nikos (), „Simplifying the solution of Ljunggren's equation X2 + 1 = 2Y4 (PDF), Journal of Number Theory, 37 (2): 123–132, doi:10.1016/S0022-314X(05)80029-0, MR 1092598 .
  7. ^ en Draziotis, Konstantinos A. (), „The Ljunggren equation revisited”, Colloquium Mathematicum, 109 (1): 9–11, doi:10.4064/cm109-1-2Accesibil gratuit, MR 2308822 .
  8. ^ en Bremner, A.; Høibakk, R.; Lukkassen, D. (), „Crossed ladders and Euler's quartic” (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 36: 29–41, MR 2580898, arhivat din original (PDF) la , accesat în  .