Progresie (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În matematică, progresia este un șir de numere care derivă unul din altul urmând anumite reguli.

Progresiile cele mai frecvent folosite sunt progresia aritmetică și progresia geometrică. Fiecare dintre acestea are caracteristică o anumită operație (în care intervine numărul anterior din șir și o constantă), și anume adunarea în cazul progresiilor aritmetice și înmulțirea în cazul celor geometrice.

Progresii aritmetice[modificare | modificare sursă]

Progresiile aritmetice se caracterizează printr-o diferență constantă între oricare doi termeni consecutivi. Ele sunt de forma , adică , unde sunt relațiile:

  • (formula generală);
  • (formula recurentă);
  • .

Pentru care

  • este rangul (poziția) termenului în șir (). este primul termen, este al doilea termen, etc.;
  • este rația progresiei ().

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Orice termen al unei progresii aritmetice este media aritmetică a predecesorului și succesorului său:

Exemple de progresii aritmetice[modificare | modificare sursă]

  • Șirul numerelor naturale: 0, 1, 2, 3, 4, ... este o progresie aritmetică având rația 1 și primul termen 0;
  • Șirul numerelor naturale impare: 1, 3, 5, 7, ... progresie aritmetică cu rația 2 și primul termen 1.

Suma termenilor unei progresii aritmetice[modificare | modificare sursă]

Suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetică se poate calcula astfel:

Se spune ca această formulă ar fi fost descoperită de către Gauss pe când era în clasele primare și a fost pedepsit să adune toate numerele de la 1 la 100. Acesta a format 50 de grupe identice prin însumarea termenilor, în perechi de două numere, în felul următor: termenul de pe prima poziție (1) cu cel de pe ultima (100) formau o pereche, termenul de pe a doua poziție (2) cu penultimul termen (99) formau altă pereche și așa mai departe. În acest fel fiecare pereche are valoarea constantă de 101. Extrapolând raționamentul se obține formula anterioară.

Demonstrație

Însumând cele două relații se obține:

Progresii geometrice[modificare | modificare sursă]

Tipic pentru progresiile geometrice este faptul că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant. Sunt de forma , adică , unde sunt relațiile:

  • (formula generală);
  • (formula recurentă);
  • .

Pentru care

  • este rangul (poziția) termenului în șir (). este primul termen, este al doilea termen, etc.;
  • este rația progresiei ().

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Orice termen al unei progresii geometrice este media geometrică între predecesorul și succesorul său:

Exemple de progresii geometrice[modificare | modificare sursă]

  • 3, 30, 300, 3000, 30000, ... este o progresie geometrică cu rația 10 și primul termen 3;
  • 2, 4, 8, 16, 32, ... este o progresie geometrică cu rația 2 și primul termen 2.

Suma termenilor unei progresii geometrice[modificare | modificare sursă]

Fie suma primilor termeni ai progresiei geometrice .

Dacă atunci:

Altfel, dacă atunci:

Demonstrație

, dacă .

Progresii armonice[modificare | modificare sursă]

O progresie armonică este un șir de numere care reprezintă inversele unei progresii aritmetice. De exemplu șirul {1, 1/3, 1/5, 1/7, ...} este o progresie armonică.

Denumiri[modificare | modificare sursă]

Denumirea acestor progresii provine de la proprietatea oricărui număr din șir (cu excepția capetelor) de a fi egal cu un anumit tip de medie a celor doi vecini ai săi:

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]