Progresie (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, progresia este un șir de numere care derivă unul din altul urmând anumite reguli.

Progresiile cele mai frecvent folosite sunt progresia aritmetică și progresia geometrică. Fiecare dintre acestea are caracteristică o anumită operație (în care intervine numărul anterior din șir și o constantă), și anume adunarea în cazul progresiilor aritmetice și înmulțirea în cazul celor geometrice.

Progresii aritmetice[modificare | modificare sursă]

Progresiile aritmetice se caracterizează printr-o diferență constantă între oricare doi termeni consecutivi. Ele sunt de forma a1, a2, ..., an, ... adica a1 , a1 + r , a1 + 2r , ... , a1 + (n-1)r, ... unde:

  • ak = a1 + (k - 1)r , numită și formula generală.
  • r este rația : r = ak - ak-1 numită și formula de recurență.

Exemplu : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ... cu rația r = 2 și primul termen a1 = 1 .

Suma primelor n numere dintr-o progresie aritmetică se poate calcula astfel:

 S_n = {{{(a_1 + a_n)} \cdot n} \over 2} = {{{( 2 \cdot a_1 + (n-1) \cdot r)} \cdot n} \over 2} = a_1 \cdot n + r \cdot { n \cdot (n - 1) \over 2 }

Se spune ca această formulă ar fi fost descoperită de către Gauss pe când era în clasele primare și a fost pedepsit sa adune toate numerele de la 1 la 100. Acesta a format 50 de grupe identice prin însumarea termenilor, în perechi de două numere, în felul următor: termenul de pe prima poziție (1) cu cel de pe ultima (100) formau o pereche, termenul de pe a doua poziție (2) cu penultimul termen (99) formau altă pereche și așa mai departe. În acest fel fiecare pereche are valoarea constantă de 101. Extrapolând raționamentul se obține:  S_n = {{{(a_1 + a_n)} \cdot n} \over 2}

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

 S_n =a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n

 S_n =a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1

Însumând cele două relații se obține:

 2\cdot S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)

 2\cdot S_n=(a_1+a_n)+(a_1+r+a_n-r)+...+(a_n-r+a_1+r)+(a_n+a_1)

 2\cdot S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)

 2\cdot S_n=(a_1+a_n)\cdot n

 S_n={(a_1+a_n)\cdot n \over 2}

Progresii geometrice[modificare | modificare sursă]

Tipic pentru progresiile geometrice este faptul că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant; acest raport se numește rația progresiei.

b_k = b_{k-1} \cdot q = b_1 \cdot q^{k-1}

Exemplu : 3, 30, 300, 3000, 30000, ... este o progresie geometrică cu primul termen b_1 = 3 și rația q = 10.

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:

S_n = b_1 \cdot (1+q+q^2+ ... +q^{n-1}) = b_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}, dacă q  \ne 1. Dacă q  = 1 atunci S_n = n \cdot b_1.

O posibila demonstrație ar fi:

q\cdot S_n - S_n= q \cdot(b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n) - (b_1 +b_2+b_3+...+b_n)=

=q \cdot b_1 + q^2 \cdot b_1 + q^3 \cdot b_1+...+ q^n  \cdot b_1 - b_1- q \cdot b_1 - q^2 \cdot b_1-...- q^{n-1}\cdot b_1=q^n \cdot b_1-b_1=b_1(q^n-1)

q \cdot S_n-S_n=b_1(q^n-1)

 S_n={b_1(q^n-1)\over q-1}

Progresii armonice[modificare | modificare sursă]

O progresie armonică este un șir de numere care reprezintă inversele unei progresii aritmetice. De exemplu șirul {1, 1/3, 1/5, 1/7, ...} este o progresie armonică.

Denumiri[modificare | modificare sursă]

Denumirea acestor progresii provine de la proprietatea oricărui număr din șir (cu excepția capetelor) de a fi egal cu un anumit tip de medie a celor doi vecini ai săi:

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]