Divizor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un număr x este numit divizor al altui număr y, dacă y se poate scrie ca produsul dintre x și un alt număr întreg t.

  • Dacă a este un număr întreg vom numi numărul b divizor al lui a dacă există numărul c întreg astfel ca a = b . c și scriem b | a, de asemenea c | a.
  • Exemplu: 2 este divizor pentru 6 pentru că 6 = 2 . 3. Scriem 2 | 6.
  • 1 | n, n | n și n | 0 pentru orice număr întreg nenul;
  • un număr prim are doi divizori naturali.

Mulțimea divizorilor[modificare | modificare sursă]

  • Mulțimea divizorilor lui a este formată din toți divizorii ai lui a.
    • Notație D a.
    • Exemplu : D6 = { -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 }, D5 = {-5, -1, 1, 5} ; 5 este număr prim pentru că are doi divizori naturali.
  • Numărul divizorilor:
    • Dacă n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r} este descompunerea în factori primi distincți ai lui n ,iar  p_j , j=\overline{1,r} sunt numere prime distincte numărul divizorilor naturali se poate calcula cu formula : \tau (n) = (k_1 +1 ) \cdot (k_2 +1 )\cdots   
(k_r +1) .
  • Suma divizorilor :
    • Dacă n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r} este descompunerea în factori primi distincți ai lui n ,iar  p_j , j=\overline{1,r} sunt numere prime distincte suma divizorilor naturali se poate calcula cu formula : {\sigma(n)=\sum_{d|n} d\,\! }=  \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(k_{i}+1)}-1}{p_{i}-1}.
      • Exemplu : pentru n = 20 = 22 . 5 avem \ \tau (20)= 6 și \ \sigma(20)= 42

Funcțiile de mai sus și indicatorul lui Euler sunt așa numite funcții aritmetice.

  • CMMDC: cel mai mare divizor comun a două numere naturale a , b este un număr d ce verifică :
    • i) d | a , d | b (adică este divizor comun).
    • ii) Dacă c | a și c | b atunci c | d (adică d este cel mai mare divizor comun ).
      • Notație : d = (a,b).
      • Exemplu: (12, 18 ) = 6.
      • Dacă (a , b) = 1 spunem că a și b sunt prime între ele; ( 32, 15) = 1, deci 32 și 15 sunt prime între ele, sau altfel spus au ca factor comun doar pe 1.
      • Dacă un număr are doar un divizor atunci spunem despre el ca este numar prim.se defineste 2cat4

Legături externe[modificare | modificare sursă]