Binomul lui Newton

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În algebra elementară, binomul lui Newton este denumirea formulei pentru ridicarea la o anumită putere naturală a unui binom:

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k

(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k

 \mathbf{C}_n^k poate apărea scris și astfel:  {n \choose k}

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Prin 1665, Isaac Newton generalizează formula și pentru puteri reale, nu numai naturale. În acest caz, suma este înlocuită cu o serie infinită.

Pentru aceasta se definește simbolul lui Pochhammer (\cdot)_k prin relația:

{r \choose k}=\frac{r\,(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},

Astfel, dacă x, y sunt numere reale cu proprietatea |x| > |y|:


\begin{align}
(x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\
& = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.
\end{align}

Exemplu[modificare | modificare sursă]


(3 + x)^{-1/2} = 3^{-1/2} \left ( 1+ \frac 1 3 x  \right )^{-1/2}= \frac {1}{ \sqrt 3} \left ( 1 - \frac {1}{6} x + \frac {1}{24} x^2 - \frac {5}{432} x^3 + \cdots \right )

Seria este convergentă pentru  |x| < 3.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]