Coeficient binomial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Coeficienții binomiali sunt fiecare dintre coeficienții care apar pe lîngă termenii din dezvoltarea binomului :

(a + b)^n \,.

Sunt de forma:

 \ {C}^k_n

această structură citindu-se: "Combinări de n luate câte k", unde

{C}^k_n = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} ,

iar

 n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ....... \cdot n = \prod_{k=1}^n k,

citindu-se "N Factorial".

Notație[modificare | modificare sursă]

Coeficientul binomial se notează cu n \choose k . Astfel, se poate scrie :

 {n \choose k}  = {n \choose {n - k}} = {n \choose k, {n - k}} = {n \choose k, {n - k}, 0} .

unde ultimii doi termeni din șirul de egalități sunt coeficienți multinomiali.

Alte notații întâlnite pentru coeficientul binomial sunt :

C^n_k = C(n,k) = binomial(n,k) .

Definiție combinatorică[modificare | modificare sursă]

Coeficientul binomial indică numărul de moduri în care poate fi alcătuită o mulțime din două sorturi de elemente, a câte k1 și k2 elemente din fiecare sort.
Ens ( X + Y ) = Ens ( X ) . Ens ( Y )
Pentru a afla direct din definiție valorea coeficientului binomial, se trece la funcția generatoare exponențială
 \sum_{n} \frac{(x+y)^n}{n!}  = e^{x+y} = e^x \cdot e^y 
= \sum_{k1} \frac{x^{k_1}}{k_1!} 
  \sum_{k2} \frac {y^{k_2}}{k_2!}
= \sum_{k1, k2} \frac{x^{k_1}}{k_1!} \frac {y^{k_2}}{k_2!}
= \sum_{n}  
            \sum_{k_1+k_2=n}   
            \frac {x^{k_1}} {k_1!} 
            \frac {y^{k_2}} {k_2!}
După egalarea termen cu termen se obține, pentru fiecare n,
 \frac{(x+y)^n}{n!}  =  \sum_{k_1+k_2=n}   
                                \frac {x^{k_1}} {k_1!} 
                                \frac {y^{k_2}} {k_2!}
de unde rezultă coeficientul binomial dorit
 (x+y)^n =  \sum_{k_1+k_2=n}   
                    \frac {n!} {k_1!k_2!} 
                      {x^{k_1}}{y^{k_2}}

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]