Coeficient binomial

Coeficienții binomiali sunt fiecare dintre coeficienții care apar pe lîngă termenii din dezvoltarea binomului :

$(a + b)^n \,$.

Sunt de forma:

$\ {C}^k_n$

această structură citindu-se: "Combinări de n luate câte k", unde

${C}^k_n = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$,

iar

$n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ....... \cdot n = \prod_{k=1}^n k$,

citindu-se "N Factorial".

Notație

Coeficientul binomial se notează cu $n \choose k$. Astfel, se poate scrie :

${n \choose k} = {n \choose {n - k}} = {n \choose k, {n - k}} = {n \choose k, {n - k}, 0}$.

unde ultimii doi termeni din șirul de egalități sunt coeficienți multinomiali.

Alte notații întâlnite pentru coeficientul binomial sunt :

$C^n_k = C(n,k) = binomial(n,k)$.

Definiție combinatorică

Coeficientul binomial indică numărul de moduri în care poate fi alcătuită o mulțime din două sorturi de elemente, a câte k₁ și k₂ elemente din fiecare sort.

Ens ( X + Y ) = Ens ( X ) . Ens ( Y )

Pentru a afla direct din definiție valorea coeficientului binomial, se trece la funcția generatoare exponențială

$\sum_{n} \frac{(x+y)^n}{n!} = e^{x+y} = e^x \cdot e^y = \sum_{k1} \frac{x^{k_1}}{k_1!} \sum_{k2} \frac {y^{k_2}}{k_2!} = \sum_{k1, k2} \frac{x^{k_1}}{k_1!} \frac {y^{k_2}}{k_2!} = \sum_{n} \sum_{k_1+k_2=n} \frac {x^{k_1}} {k_1!} \frac {y^{k_2}} {k_2!}$

După egalarea termen cu termen se obține, pentru fiecare n,

$\frac{(x+y)^n}{n!} = \sum_{k_1+k_2=n} \frac {x^{k_1}} {k_1!} \frac {y^{k_2}} {k_2!}$

de unde rezultă coeficientul binomial dorit

$(x+y)^n = \sum_{k_1+k_2=n} \frac {n!} {k_1!k_2!} {x^{k_1}}{y^{k_2}}$

Vezi și

• Binomul lui Newton
• Factorial
• Teorema multinomială