Planul complex

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Diagrama Argand)
Salt la: Navigare, căutare
Reprezentarea geometrică a z și a conjugatului său în planul complex.

În matematică, planul complex sau planul z este o reprezentare geometrică a numerelor complexe într-un plan definit de axa reală și axa imaginară, ortogonale. El poate fi asemuit planului cartezian, cu reprezentarea părții reale a uni număr complex de-a lungul axei x, iar a părții imaginare de-a lungul axei y.

Conceptul de plan complex permite interpretarea geometrică a numerelor complexe. În figura alăturată, distanța de-a lungul liniei albastre de la origine până la punctul z este modulul lui z, iar unghiul φ este argumentul lui z. Adunarea a două numere complexe se face la fel ca adunarea vectorilor. În coordonate polare, la produsul a două numere complexe modulul produsului este produsul modulelor, iar argumentul produsului este suma argumentelor celor două numere. În particular, multiplicarea unui număr complex cu modul 1 este o rotație.

Uneori planul complex este numit și planul Argand deoarece este folosit în diagramele Argand. Acestea sunt numite după Jean Robert Argand (1768–1822).[1] Folosită pentru vizualizarea liniei complexe, diagrama Argand se bazează pe faptul că un număr complex poate fi reprezentat ca o pereche de numere reale. Riguros spus: corpul numerelor complexe (linia complexă) este un spațiu vectorial de dimensiune doi (planul real) peste sub-corpul numerelor reale.

Linie complexă.png Linia complexă, ca orice altă linie, este deteminată (coordonatizată) de două puncte 0 și 1. Diferență dintre planul real și linia complexă apare din faptul că planul real are nevoie de trei puncte pentru a fi determinat (coordonatizat) : (0,0), (1,0) și (0,1).

Însă o dată stabilită polarizarea lui i (cu plus sau cu minus) și asocierea lui cu (0,1), planul real, în înțelesul geometric, oferă o bună reprezentare pentru numerele complexe.

Diferența dintre planul real și linia complexă apare mai evident atunci când se completează cele două structuri până la proiectivitate:

  • pentru a deveni un plan proiectiv, planul real mai are nevoie în plus de o linie (a orizontului) și de un punct „la infinit”.
  • pentru a deveni o linie proiectivă complexă (corp complet), linia proiectivă mai are nevoie de un singur punct „la infinit”.
Consecință

În consecință, orice teoremă din geometria plană clasică trebuie să aibă și o demonstrație cu numere complexe, alături de una analitică și una vectorială.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Whittaker & Watson, 1927, p. 9

Legături externe[modificare | modificare sursă]