Matrice pozitiv definită

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Acest articol are nevoie de ajutorul dumneavoastră! Puteţi contribui la dezvoltarea şi îmbunătăţirea lui apăsând butonul "modifică pagina".

O matrice pătrată de numere reale se numeşte pozitiv definită dacă prin înmulţire la stânga şi la dreapta cu un acelaşi vector nenul se obţine o valoare strict pozitivă:

$\forall x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\,,\ x^TAx>0$

unde $x$ este considerat vector coloană şi $x T$ este transpusul lui (ca vector linie).

Dacă A este o matrice pozitiv definită, atunci $\langle Ax,y\rangle$ defineşte un produs scalar.

O posibilitate de-a determina dacă o matrice este pozitiv definită este regula lui Sylvester: se calculează toţi determinanţii formaţi din primele linii şi primele coloane ale matricii; dacă toţi au valoare strict mai mare decât zero atunci matricea este pozitiv definită.

O condiţie suficientă pentru ca o matrice A să fie pozitiv definită este să fie simetrică, cu diagonala dominantă şi a_ii>0 pentru 1<=i<=n.