Matrice (matematică)

În matematică, o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrici cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci masive n-dimensionale. Dacă m=n, matricea este pătratică.

[modificare] Definiție

Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip $m \times n \!$ ) un tablou cu m linii și n coloane:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \!$

ale cărui elemente $a_{ij} \!$ sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează și $A= \left ( a_{ij} \right ), \!$ unde $i = \overline {1, m} \!$ și $j = \overline {1, n}. \!$ Pentru elementul $a_{ij}, \!$ indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricelor de tip $m \times n \!$ cu elemente numere reale se notează prin $M_{m, n} (\mathbb R). \!$ Aceleași semnificații au și mulțimile $M_{m, n} (\mathbb Z), M_{m, n} (\mathbb Q), M_{m, n} (\mathbb C). \!$

[modificare] Cazuri particulare

1) O matrice de tipul $1 \times n \!$ (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:

$A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \!$

2) O matrice de tipul $m \times 1 \!$ (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:

$B= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_m \end{pmatrix} \!$

3) O matrice de tip $m \times n \!$ se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

$O= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \!$

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătratică:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \!$

Sistemul de elemente $(a_{11} \; a_{22} \; \cdots \; a_{nn}) \!$ reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numește urma matricii A notată:

$Tr(A)= \sum_{i=1}^n a_{ii}. \!$

Mulțimea matricilor pătratice se notează $M_n(\mathbb C). \!$ Printre aceste matrici, una este foarte importantă, aceasta fiind:

$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \!$

și se numește matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

[modificare] Egalitatea a două matrice

Definiție. Fie $A=(a_{i,j})$ , $B=(b_{i,j}) \in M_{m,n}(C)$ . Se spune că matricile $A, B$ sunt egale și se scrie $A=B$ dacă $a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j=\overline{1,n}$

[modificare] Transpusa unei matrici

Definiție. Fie $A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C)$ .

Transpusa matricii A este:

^T $A=B=(b_{i,j}) \in M_{n,m}(C)$ dată de: $b_{i,j} = a_{j,i} \forall i=\overline{1,n}; j=\overline{1,m}$

[modificare] Matrice simetrică

Definiție. Fie matricea pătratică $A=(a_{i,j}) \in M_{n,n}(C)$ . Spunem că matricea $A$ este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: $a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j=\overline{1,n}$ Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = ai,j se numeste matrice de tipul (m, n), cu m linii si n coloane.

O matrice care are o dimensiune egala cu 1 se numeste vector. O matrice A[1,n] (1 linie si n coloane) se numeste vector linie, iar o matrice B[m,1] ( o coloana si m linii) se numeste vector coloana. Exemple:

Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a3,1 este 12. este o matrice de tipul (1, 7) sau vector linie.

O matrice A(m,n) care are m = n se numeste matrice patratica. Deci, o matrice patratica este matricea care are numarul de linii egal cu numarul de coloane.

[modificare] Operații cu matrici

[modificare] Adunarea matricilor

Fie $A=(a_{ij}), \; B=(b_{ij}), \; C=(c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!$

Matricea C se numește suma matricilor A, B dacă:

$c_{ij} = a_{ij}+ b_{ij}, \; \forall i=\overline{1, m} , \forall j=\overline{1, n}. \!$

Observații.

1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci $A, B \in M_{m, n} (\mathbb C). \!$

2) Explicit, adunarea matricilor A, B înseamnă:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}= \!$

$= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} & \cdots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix}. \!$

[modificare] Proprietăți ale adunării matricilor

$A_1 \!$ (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:

$(A+B)+C= A+(B+C), \; \forall A, B, C \in M_{m, n}(\mathbb C). \!$

$A_2 \!$ (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică:

$A+B=B+A, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C). \!$

$A_3 \!$ (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

$\exists O_{m, n} \in M_{m, n} (\mathbb C) \!$ astfel încât $A+O_{m, n} = A \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!$

$A_4 \!$ (Elemente opuse). Orice matrice $A \in M_{m, n}(\mathbb C) \!$ are un opus, notat $-A, \!$ astfel încât:

$A+(-A) = O_{m, n}. \!$

[modificare] Înmulțirea cu scalari a matricilor

Fie $\lambda \in \mathbb C \!$ și $A=(a_{ij}) \in M_{m, n} (\mathbb C). \!$ Se numește produsul dintre scalarul $\lambda \in \mathbb C \!$ și matricea A, matricea notată $\lambda A \in M_{m, n} (\mathbb C) \!$ definită prin $\lambda A = (\lambda a_{ij}). \!$

Observație

A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

$\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}. \!$

[modificare] Proprietăți ale înmulțirii matricilor cu scalari

$(S_1) \; \; \; \lambda(\mu A) = (\lambda \mu) A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!$

$(S_2) \; \; \; \lambda (A+B) = \lambda A+ \lambda B, \; \forall \lambda \in \mathbb C, \; \forall A, B \in M_{m, n}(\mathbb C); \!$

$(S_3) \; \; \; (\lambda + \mu) A = \lambda A+ \mu A, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb C, \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C); \!$

$(S_4) \; \; \; 1 \cdot A = A, \; 1 \in \mathbb C , \; \forall A \in M_{m, n}(\mathbb C). \!$

[modificare] Înmulțirea matricilor

Fie $A=(a_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \; B=(b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C). \!$

Produsul dintre matricile A și B (în această ordine), notat $AB \!$ este matricea $C = (c_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb C), \!$ definită prin:

$c_{kj} = \sum_{i=1}^n a_{ki}b_{ij}, \; \forall j = \overline{1, n}. \!$

Observații

1) Produsul $AB \!$ a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă $A \in M_{m, n} (\mathbb C), B \in M_{n, p} (\mathbb C), \!$ adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice C=AB \in M_{m, p} (\mathbb C).

2) Dacă matricile sunt pătratice $A, B \in M_n (\mathbb C) \!$ atunci are sens întotdeauna atât $AB \!$ cât și $BA , \!$ iar în general, $AB \neq BA \!$ adică înmulțirea matricilor nu este comutativă.