Determinant (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Determinantul este, în algebră, o funcție care atribuie oricărei matrici pătrate un număr.

Primele aplicații: arii și volume[modificare | modificare sursă]

Determinantul unei matrici 2×2[modificare | modificare sursă]

Fie matricea de tip 2×2:

 A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

determinantul acesteia este:

\det(A)= ad-bc  \

Interpretare vectorială[modificare | modificare sursă]

Determinantul vectorilor X și X' este dat de expresia analitică:

 \det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy'-yx'

ceea ce este echivalent cu expresia geometrică:

 \det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta

unde  \theta este unghiul orientat format de vectorii X și X '.

Determinantul unei matrici 3×3[modificare | modificare sursă]

Fie matricea de tip 3×3:

 A=\begin{bmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}

Dezvoltând după prima linie, obținem:

\begin{align} 
\det(A) &= a\begin{vmatrix} e&f\\h&i \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} d&f\\g&i \end{vmatrix} +c \begin{vmatrix} d&e\\g&h \end{vmatrix} \\ &= aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg\\ &= (aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb) ,
 \end{align}


Intepretare geometrică[modificare | modificare sursă]

Dacă X(a,b,c), Y(d,e,f), Z(g,h,i) sunt trei vectori orientați, atunci volumul paralelipipedului determinat de aceștia este:

 \det(X, Y, Z) = \begin{vmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{vmatrix} .

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  1. Determinantul unei matrice  \mathrm{A} este egal cu determinantul matricei transpuse  {}^t\!A  : det(A)=det({}^t\!A) .
  2. Dacă într-o matrice pătratică se schimbă între ele două linii (sau coloane) se obține o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
  3. Dacă elementele unei linii (sau coloane) a matricei  \mathrm{A} se înmulțesc cu un număr  \mbox{k} , se obține ne o matrice  \mathrm{C} al cărei determinant este egal cu  k*det(A) .
  4. Dacă elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice pătratică sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.
  5. Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul ei este nul.
    Consecință:
    Fie  d=|a_{i,j}|_n un determinant de ordinul  \mbox{n} . Pentru orice  i\ne \;j au loc egalitățile:
    1.  a_{i1}\delta_{j1}+a_{i2}\delta_{j2}+...+a_{in}\delta_{jn}=0
    2.  a_{1j}\delta_{1i}+a_{2j}\delta_{2i}+...+a_{nj}\delta_{ni}=0

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Paris, Hermann, 1977

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]