Determinant (matematică)

Determinantul este, în algebră, o funcție care atribuie oricărei matrici pătrate un număr.

Primele aplicații: arii și volume

Determinantul unei matrici 2×2

Fie matricea de tip 2×2:

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

determinantul acesteia este:

$\det(A)= ad-bc \$

Interpretare vectorială

Determinantul vectorilor X și X' este dat de expresia analitică:

$\det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy'-yx'$

ceea ce este echivalent cu expresia geometrică:

$\det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta$

unde $\theta$ este unghiul orientat format de vectorii X și X '.

Determinantul unei matrici 3×3

Fie matricea de tip 3×3:

$A=\begin{bmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}$

Dezvoltând după prima linie, obținem:

$\begin{align} \det(A) &= a\begin{vmatrix} e&f\\h&i \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} d&f\\g&i \end{vmatrix} +c \begin{vmatrix} d&e\\g&h \end{vmatrix} \\ &= aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg\\ &= (aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb) , \end{align}$

Intepretare geometrică

Dacă X(a,b,c), Y(d,e,f), Z(g,h,i) sunt trei vectori orientați, atunci volumul paralelipipedului determinat de aceștia este:

$\det(X, Y, Z) = \begin{vmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{vmatrix}$.

Proprietăți

1. Determinantul unei matrice $\mathrm{A}$ este egal cu determinantul matricei transpuse ${}^t\!A  : det(A)=det({}^t\!A)$.
2. Dacă într-o matrice pătratică se schimbă între ele două linii (sau coloane) se obține o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
3. Dacă elementele unei linii (sau coloane) a matricei $\mathrm{A}$ se înmulțesc cu un număr $\mbox{k}$, se obține ne o matrice $\mathrm{C}$ al cărei determinant este egal cu $k*det(A)$.
4. Dacă elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice pătratică sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.
5. Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul ei este nul.
   Consecință:
   Fie $d=|a_{i,j}|_n$ un determinant de ordinul $\mbox{n}$. Pentru orice $i\ne \;j$ au loc egalitățile:
   1. $a_{i1}\delta_{j1}+a_{i2}\delta_{j2}+...+a_{in}\delta_{jn}=0$
   2. $a_{1j}\delta_{1i}+a_{2j}\delta_{2i}+...+a_{nj}\delta_{ni}=0$

Bibliografie

• Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Paris, Hermann, 1977

Vezi și

• Spațiu vectorial
• Bază algebrică
• Procedeul Gram-Schmidt

Legături externe

• en Sisteme liniare
• en Online Matrix Calculator