Număr piramidal pătratic

Un număr pătratic piramidal, pătrat perfect piramidal sau număr pătrat piramidal este un număr figurativ care reprezintă numărul de sfere stivuite într-o piramidă cu o bază pătrată. Numerele pătrat piramidale rezolvă, de asemenea, problema numărului de pătrate dintr-o grilă n × n. Numerele piramidale (cu n laturi triunghiulare) sunt adesea confundate cu numerele pătrat piramidale (cu 4 laturi).

Exemple

Primele numere pătrate piramidale sunt:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... ^[1]

Aceste numere pot fi exprimate prin formula:

P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.

Acesta este un caz special al formulei lui Faulhaber și poate fi dovedit printr-o inducție matematică.^[2] O formulă echivalentă este dată în manuscrisul lui Leonardo Fibonacci, Liber Abaci (1202, ch. II.12).

În matematica modernă, numerele figurate sunt formalizate prin polinoame Ehrhart:

 $(t + 1)(t + 2)(2 t + 3) / 6 = P t + 1$ .^[3]

Funcție generatoare exponențială

Funcția generatoare pentru numerele piramidale este:

\mathbf {1} x+\mathbf {5} x^{2}+\mathbf {14} x^{3}+\mathbf {30} x^{4}+\mathbf {55} x^{5}+\ldots ={\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}.

Relația cu alte numere

Numerele piramidale pătrate pot fi, de asemenea, exprimate ca suma coeficienților binomiali:

P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.

Coeficienții binomiali care apar în această expresie prezentată sunt numere tetraedrice. Această formulă exprimă numerele piramidale ca suma a două numere, la fel ca orice număr pătratic este suma a două numere triunghiulare consecutive. În această sumă, unul dintre cele două numere tetraedrice reprezintă numărul de sfere din piramida pliată care sunt situate deasupra sau pe o parte a diagonalei bazei pătrate a piramidei; iar al doilea - reprezintă numărul de sfere situate pe cealaltă parte a diagonalei. Numerele piramidale sunt, de asemenea, legate de numerele tetraedrice după cum urmează:^[4]:

P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.

Suma a două numere piramidale consecutive este un număr octaedric.

Note

^ Șirul A000330 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ Hopcroft, Motwani & Ullman (2007), p. 20
^ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 15–36, MR 2134759 .
^ Деза Е., Деза М. 2016.

Abramowitz, M.; Stegun, I. A., ed. (1964). Handbook of Mathematical Functions. Applied Math. Series. 55. National Bureau of Standards. pp. 813. ISBN 0-486-61272-4.
Beiler, A. H. (1964). Recreations in the Theory of Numbers. Dover. pp. 194. ISBN 0-486-21096-0.
Goldoni, G. (2002). „A visual proof for the sum of the first $n$ squares and for the sum of the first $n$ factorials of order two”. The Mathematical Intelligencer. 24 (4): 67–69. doi:10.1007/bf03025326.
Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 260–261. ISBN 0-387-95419-8.
Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2007). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (ed. 3). Pearson/Addison Wesley. ISBN 9780321455369.

Vezi și

[1] Șirul A000330 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[2] Hopcroft, Motwani & Ullman (2007), p. 20

[3] Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), „Coefficients and roots of Ehrhart polynomials”, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 15–36, MR 2134759 .

[DD75-4] Деза Е., Деза М. 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]