Inducție matematică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Inducţia matematică poate fi asemănată efectului căderii pieselor de domino.

Inducția matematică ("raționamentul prin recurență" sau "inducția completă") este o modalitate de demonstrație utilizată în matematică pentru a stabili dacă o anumită propoziție este valabilă pentru toate numerele naturale.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Primele semne de utilizare a acestei metode pot fi găsite în demonstrația lui Euclid care încearcă să arate că numărul numerelor prime este infinit.[1][2]

În cadrul matematicii indiene, găsim o metodă similară la matematicianul Bhaskara, așa-numita metodă "chakravala".[3]

În jurul anului 1000 d.Hr., regăsim, la matematicianul persan Al-Karaji[4] (c.953 - c.1029), aplicarea metodei inducției la determinarea coeficienților binomiali (la ceea ce mai târziu avea să se numească binomul lui Newton), la studiul triunghiului lui Pascal.

Matematicianul islamic Ibn Al-Haytham (965 - 1039) aplică această metodă la calculul unor puteri integrale.

Musulmanul Al-Maghribī al-Samaw'al (c.1130 - c.1180) utilizează inducția, într-o formă asemănătoare celei moderne, ducând mai departe studiile lui Al-Karaji privind triunghiul lui Pascal.

Prima expunere cu adevărat riguroasă a principiului inducției apare la matemaicianul italian Francesco Maurolico (1494 - 1575).[5] Acesta, în lucrarea Arithmeticorum libri duo (1575), demonstrează că suma primelor n numere impare este .

Principiul inducției complete a fost descoperit și de Jakob Bernoulli (1713), Pascal (1653) și Fermat.

Descriere[modificare | modificare sursă]

Demonstrația prin inducție că propoziția  P(n) \, pentru orice  n \in \mathbb{N} se compune din doi pași:

  1. Cazul inițial: demonstrarea faptului că propoziția este valabilă pentru  n = 0 \, .
  2. Pasul de inducție: Se dovedește că, pentru orice  n \, natural,  P(n) \, implică  P(n+1) \,.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Exemplul 1[modificare | modificare sursă]

Să demonstrăm formula utilizată pentru suma primelor n numere naturale:

 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
  • Inițializare:
pentru  n = 1 \,   avem:    1 = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 .

Formula este verificată în cazul inițial.

  • Iterare:

Trebuie să arătăm că, dacă formula este valabilă pentru  n= m \, , atunci este valabilă și pentru    n= m+1 \,.

Să presupunem formula valabilă pentru  n = m \,  :

 1 + 2 + \cdots + m = \frac {m(m+1)}{2} .

Adăugând la ambii membri  m +1  \, , obținem:

 1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{m(m+1)}{2} + (m+1) .

Calculând, obținem:

 1 + 2 + \cdots + (m+1) = \frac{(m+1)(m+2)}{2} .

Astfel am arătat că:

 P (m) \Longrightarrow P (m+1) .


Exemplul 2[modificare | modificare sursă]

Să calculăm suma primelor numere impare:

 1 = 1 \,


 1+3=4 \,


 1+3+5=9 \,


 1+3+5+7=16 \,.


 1+3+5+7+9=25 \,.


Ajungem la presupunerea: Suma primelor numere impare, de la 1 până la  2n-1 \, este  n^2 \, ,   adică:

 \sum_{i=1}^{n}(2i-1) = n^2 .

Pentru a dovedi acest lucru prin metoda inducției complate, trebuie să demonstrăm că:

1.  \sum_{i=1}^{1}(2i-1)= 1^2
2. Dacă  \sum_{i=1}^{n}(2i-1)= n^2 , atunci  \sum_{i=1}^{n+1}(2i-1)= (n+1)^2 .

Primul punct e simplu de dovedit. Pentru cel de-al doilea folosim identitățile:

 \sum_{i=1}^{n+1}(2i-1) = \sum_{i=1}^{n}(2i-1) \; + \; \; (2(n+1)-1) = n^2 + 2(n+1) - 1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 .

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ (1994) "Could the Greeks Have Used Mathematical Induction? Did They Use It?" Physis XXXI. p. 253-265.
  2. ^ Ungure, S. (1991) "Greek Mathematics and Mathematical Induction" Physis XXVIII, p. 273-289.
  3. ^ Metoda consta într-un algoritm ciclic de rezolvare a ecuațiilor pătratice nedeterminate.
  4. ^ Rashed, Roshdi (1972). "L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al". Archive for History of Exact Science 6, p. 237-248. Vezi și
  5. ^ Vezi The Maurolico Project

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]