Relație binară

În matematică, o relație binară pe o mulțime A este o submulțime a produsului cartezian $A\times A$ $A\times A$ .

Ca notație uzuală, dacă $\rho \subseteq A\times A$ $\rho \subseteq A\times A$ este o relație, în loc să scriem $(a,b)\in \rho$ $(a,b)\in \rho$ , scriem $a\,\rho \,b$ $a\,\rho \,b$ .

Tipuri de relații binare[modificare | modificare sursă]

O relație binară $\rho \subseteq A\times A$ $\rho \subseteq A\times A$ se numește:

reflexivă, dacă $\forall a\in A\,,\ a\,\rho \,a$ $\forall a\in A\,,\ a\,\rho \,a$
antireflexivă, dacă $\forall a\in A\,,\ (a,a)\notin \rho$ $\forall a\in A\,,\ (a,a)\notin \rho$
simetrică, dacă $\forall a,b\in A\,,\ a\,\rho \,b\ \Rightarrow \ b\,\rho \,a$ $\forall a,b\in A\,,\ a\,\rho \,b\ \Rightarrow \ b\,\rho \,a$
antisimetrică, dacă $\forall a,b\in A$ $\forall a,b\in A$ , $a\,\rho \,b$ $a\,\rho \,b$ și $b\,\rho \,a$ $b\,\rho \,a$ implică $a=b$ $a=b$
tranzitivă, dacă $\forall a,b,c\in A$ $\forall a,b,c\in A$ , $a\,\rho \,b$ $a\,\rho \,b$ și $b\,\rho \,c$ $b\,\rho \,c$ implică $a\,\rho \,c$ $a\,\rho \,c$
de echivalență, dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă
de preordine dacă este reflexivă și tranzitivă
de ordine, dacă este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă
de ordine totală, dacă este relație de ordine și $\forall a,b\in A$ $\forall a,b\in A$ , $a\,\rho \,b$ $a\,\rho \,b$ sau $b\,\rho \,a$ $b\,\rho \,a$
relație de bună ordonare, dacă este relație de ordine totală și, în plus, orice submulțime nevidă a lui A posedă un minim ( $B\subseteq A\land B\neq \emptyset \Rightarrow \exists m\in B,\forall x\in B,m\leq x$ $B\subseteq A\land B\neq \emptyset \Rightarrow \exists m\in B,\forall x\in B,m\leq x$ )
de ordine strictă, dacă este antireflexivă și tranzitivă