Bisectoare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Desenarea bisectoarei unui unghi folosind rigla și compasul.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Orice punct de pe bisectoare se află la egală distanță de laturile unghiului, proprietate pe baza definiției bisectoarei;

Concurența bisectoarelor unui triunghi[modificare | modificare sursă]

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • În orice triunghi bisectoarea unui unghi împarte latura opusă unghiului în segmente de lungimi cu un anumit raport conform teoremei bisectoarei;

Lungimea bisectoarelor unui triunghi[modificare | modificare sursă]

În această diagramă, BD:DC = BA:CA.

Lungimea a unei bisectoare a unui triunghi în funcție de laturile unghiului bisecționat b, c și măsura A/2 a acestui semiunghi e:[1]

Dacă bisectoarea internă a unghiului A în orice triunghi ABC cu lungimea divide latura opusă unghiului in segmente de lungimi m și n, atunci[2]

unde b, c sunt laturi opuse vârfurilor B și C; iar latura a opusă lui A e împărțită în raportul b:c = m:n.

Egalitatea se obține folosind teorema lui Stewart și teorema bisectoarei. Din expresia teoremei bisectoarei sau se obține o egalitate de produse de lungimi sau , care se substituie în expresia teoremei lui Stewart

Partea dreaptă a egalității din teorema lui Stewart devine după substituire:

Pentru substituire este necesară și exprimarea sumei lungimilor laturilor b și c tot pe baza teoremei bisectoarei.

După substituire

Egalizarea cu partea stângă dă:

Lungimea laturii a apărând în ambii membri ai egalității aceasta se împarte cu a rezultând egalitatea enunțată.

Dacă bisectoarele interne ale unghiurilor A, B, and C au lungimile and , atunci[3]

Ecuații în geometria analitică[modificare | modificare sursă]

În plan[modificare | modificare sursă]

În geometria analitică se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (internă și externă, perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de două drepte de ecuații carteziene:

Ecuațiile celor două bisectoare sunt:

În spațiu[modificare | modificare sursă]

Se consideră dreptele de ecuații:

Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:

unde:

În geometria triunghiului[modificare | modificare sursă]

Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor: și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:

unde semnele și se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A.

Ecuații similare se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Oxman, Victor. "On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  2. ^ Johnson, p.70
  3. ^ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115-116.

Legături externe[modificare | modificare sursă]