Bisectoare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Desenarea bisectoarei unui unghi folosind rigla și compasul.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Ecuații în geometria analitică[modificare | modificare sursă]

În plan[modificare | modificare sursă]

Cu ajutorul geometriei analitice, se pot scrie ecuațiile celor două bisectoare (perpendiculare între ele) ale unghiului determinat de dreptele de ecuații carteziene:

 (D_1) \; \; A_1 x + B_1 y +C_1 =0,
 (D_2) \; \; A_2 x + B_2 y +C_2 =0.

Ecuațiile celor două bisectoare sunt:

 \frac {A_1 x + B_1 y +C_1} {\sqrt {A_1^2 + B_1^2}} = \frac {A_2 x + B_2 y +C_2} {\sqrt {A_2^2 + B_2^2}},
 \frac {A_1 x + B_1 y +C_1} {\sqrt {A_1^2 + B_1^2}} = - \frac {A_2 x + B_2 y +C_2} {\sqrt {A_2^2 + B_2^2}}.

În spațiu[modificare | modificare sursă]

Se consideră dreptele de ecuații:

 \frac {x-a}{l_1} = \frac {y-b}{m_1} = \frac {z-c}{n_1},
 \frac {x-a}{l_2} = \frac {y-b}{m_2} = \frac {z-c}{n_2}.

Atunci ecuațiile parametrice ale bisectoarelor unghiului determinat de acestea sunt:

 x= a + \left ( \frac {l_1}{D_1} \pm \frac {l_2}{D_2} \right ) \cdot t ,
 y= b + \left ( \frac {m_1}{D_1} \pm \frac {m_2}{D_2} \right ) \cdot t ,
 z= c + \left ( \frac {n_1}{D_1} \pm \frac {n_2}{D_2} \right ) \cdot t ,

unde:

 D_1 = \sqrt {l_1^2 + m_1^2 + n_1^2},
 D_2 = \sqrt {l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}.

În geometria triunghiului[modificare | modificare sursă]

Se consideră triunghiul ABC, dat prin coordonatele vârfurilor:  A (x_1, y_1), B (x_2, y_2), C (x_3, y_3) și cu lungimile laturilor a, b, c. Atunci ecuațiile bisectoarelor vârfului A sunt:

 \frac { \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1   \end{vmatrix}} {b} \pm \frac { \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1   \end{vmatrix}} {c} =0,

unde semnele  + și  - se referă la bisectoarea exterioară, respectiv interioară, corespunzătoare unghiului A. Ecuații analoage se obțin și pentru bisectoarele unghiurilor B și C.

Vezi și[modificare | modificare sursă]