Hebesfenomegacoroană

Descriere
Hebesfenomegacoroană

(model 3D)
Tip	poliedru Johnson J₈₈ – J₈₉ – J₉₀
Fețe	21 (18 triunghiuri echilaterale, 3 pătrate)^[1]
Laturi (muchii)	33^[1]
Vârfuri	14^[1]
χ	2
Configurația vârfului	4 (3².4²); 6 (3⁵); 4 (3⁴.4)
Grup de simetrie	C_2v , [2], [*22], ordin 4
Arie	≈ 10,794 a² (a = latura)
Volum	≈ 2,913 a³ (a = latura)
Poliedru dual	–
Proprietăți	Convex
Desfășurată

În geometrie hebesfenomegacoroana este unul dintre poliedrele Johnson, (J₈₉).^[1]^[2] Este unul dintre poliedrele elementare Johnson care nu se pot obține prin „tăiere și lipire” ale poliedrelor platonice sau arhimedice. Având 21 de fețe, este un enicosaedru.

Construcție[modificare | modificare sursă]

Johnson folosește prefixul hebesfeno- pentru a se referi la un complex asemănător unei pene format din trei lunule adiacente (o lunulă fiind un pătrat cu triunghiuri echilaterale atașate pe laturile opuse). De asemenea, sufixul -megacoroană se referă la un complex în formă de coroană format din 12 triunghiuri, în contrast cu complexul mai mic, format din 8 triunghiuri, din sfenocoroană. Unirea ambelor complexe produce hebesfenomegacoroana.^[2]

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Pentru a calcula coordonatele carteziene pentru hebesfenomegacoronă, fie $a$ ≈ 0,21684 a doua cea mai mică rădăcină pozitivă a polinomului de gradul 10

{\begin{aligned}&26880x^{10}+35328x^{9}-25600x^{8}-39680x^{7}+6112x^{6}\\&+13696x^{5}+2128x^{4}-1808x^{3}-1119x^{2}+494x-47\end{aligned}}

Atunci, coordonatele carteziene ale unei hebesfenomegacoroane cu lungimea laturilor 2 sunt date de reuniunea orbitelor punctelor

{\begin{aligned}&\left(1,1,2{\sqrt {1-a^{2}}}\right),\ \left(1+2a,1,0\right),\ \left(0,1+{\sqrt {2}}{\sqrt {\frac {2a-1}{a-1}}},-{\frac {2a^{2}+a-1}{\sqrt {1-a^{2}}}}\right),\ \left(1,0,-{\sqrt {3-4a^{2}}}\right),\\&\left(0,{\frac {{\sqrt {2(3-4a^{2})(1-2a)}}+{\sqrt {1+a}}}{2(1-a){\sqrt {1+a}}}},{\frac {(2a-1){\sqrt {3-4a^{2}}}}{2(1-a)}}-{\frac {\sqrt {2(1-2a)}}{2(1-a){\sqrt {1+a}}}}\right)\end{aligned}}

sub acțiunea grupului generat de reflexiile față de planele $xz$ și $yz$ .^[3]

Arie și volum[modificare | modificare sursă]

Următoarele formule pentru arie, $A$ ^[1] și volum, $V$ sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

A={\frac {3}{2}}(2+3{\sqrt {3}})\,a^{2}\approx 10,794229~a^{2},

Pentru volum se calculează $\xi$ ca rădăcina minimă pozitivă a polinomului de gradul 20:

47330370277129322496

x

²⁰

− 722445512980071186432

x

¹⁸

+ 3596480447590271287296

x

¹⁶

− 3596480447590271287296

x

¹⁴

+ 8973584611317745975296

x

¹²

− 3065290664181478981632

x

¹⁰

+ 366229890219212144640

x

⁸

− 8337259437908852736

x

⁶

− 22211277300912896

x

⁴

+ 132615435213216

x

²

+ 2693461945329 ,

cu care volumul este:

V=\xi \,a^{3}\approx 2,912910~a^{3}.

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Stephen Wolfram, "Hebesphenomegacorona" from Wolfram Alpha. Retrieved March 4, 2023.
^ ^a ^b en Johnson, Norman W. (1966), „Convex polyhedra with regular faces”, Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603
^ en Timofeenko, A. V. (2009). „The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra”. Journal of Mathematical Science. 162 (5): 718. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. ISSN 1072-3374.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Sphenomegacorona la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Johnson solid la MathWorld.

[SW-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e en Stephen Wolfram, "Hebesphenomegacorona" from Wolfram Alpha. Retrieved March 4, 2023.

[:0-2] Johnson, Norman W. (1966), „Convex polyhedra with regular faces”, Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603

[3] Timofeenko, A. V. (2009). „The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra”. Journal of Mathematical Science. 162 (5): 718. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. ISSN 1072-3374.

[1]

[2]

[3]