Număr raţional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, un număr raţional (sau în limbaj mai puţin riguros, o fracţie) este un număr real care se poate exprima drept raportul a două numere întregi, de obicei scris sub formă de fracţie ordinară: a/b, unde b este nenul. Numele "raţional" nu provine de la "raţiune"="gândire", ci de la "raţie"="raport".

Orice număr raţional se poate scrie într-o infinitate de forme, de exemplu $3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 = ...$ Forma cea mai simplă este cea în care $a$ şi $b$ nu au divizori comuni; toate numerele raţionale dispun de o asemenea formă.

Forma zecimală a unui număr raţional este într-un fel sau altul periodică (dacă expansiunea este finită, partea periodică o formează zerourile implicite de după ultima zecimală nenulă). Aceasta este adevărat pentru orice bază întreagă mai mare decât 1. Reciproc, dacă expansiunea unui număr într-o bază este periodică, atunci expansiunea sa în orice bază este periodică, şi în plus numărul este raţional.

Mulţimea tuturor numerelor raţionale se notează Q, sau, în varianta îngroşată, $\mathbb{Q}$ . În notaţia analitică a mulţimilor, $\mathbb{Q}$ se defineşte astfel:

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

Mulţimea Q, deşi conţine un număr infinit de elemente, este numărabilă, adică are acelaşi cardinal (potenţă, putere) ca N si ca Z. Altfel spus, există funcţii bijective între Q şi N, precum şi între Q si Z. Pentru informaţii despre cardinalitate - vezi articolul Mulţime.

Q, împreună cu adunarea şi înmulţirea, formează un corp comutativ.

Orice şir convergent de numere raţionale îşi are limita în R. În termeni de topologie: închiderea lui Q este R. Nu orice şir convergent de numere raţionale are limita tot raţională (ea poate fi totuşi iraţională).

Prin contrast, un număr real care nu este raţional se numeşte număr iraţional. Forma sa zecimală are un număr infinit (nesfârşit) de zecimale, care nu au voie să se repete (sunt neperiodice). Faptul că există numere reale care nu sunt raţionale a fost pus în evidenţă încă din antichitate - astfel, nu s-a putut construi un pătrat a cărui diagonală să fie un multiplu raţional al laturii sale, şi nu s-a putut găsi un cerc a cărui circumferinţă sa fie un multiplu raţional al razei sale (problema cuadraturii cercului).

	Matematică – Teoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
	Matematicieni specializaţi în Teoria numerelor (categorie) • • $\mathbb{N}$ • • $\mathbb{Z}$ • • $\mathbb{Q}$ • • $\mathbb{I}$ • • $\mathbb{T}$ • • $\mathbb{R}$ • • • $\mathbb{C}$ • • •