Pavare

Acest articol se referă la o noțiune din matematică. Pentru îmbrăcămintea unei căi de acces, vedeți pavaj.

Diferite tipuri de pavări și teselări
Pavare plană regulată	Pavare plană semiregulată
Pavare plană binară	Pavare hiperbolică
Teselare carteziană a spațiului tridimensional	Teselare cu mai multe forme (4)

În matematică o pavare sau teselare este acoperirea unei suprafețe, adesea un plan, folosind una sau mai multe forme geometrice, numite dale, fără suprapuneri și fără goluri. Termenul de pavare este folosit în special la suprafețele bidimensionale, iar cel de teselare la generalizări ale „suprafețelor” din dimensiuni superioare (forme ( $n$ −1)-dimensionale). Ambii termeni se folosesc nu doar pentru spațiul euclidian, ci și într-o varietate de alte geometrii.

O pavare periodică are un model care se repetă. Unele tipuri speciale sunt pavări regulate, cu dale poligonale regulate, toate de aceeași formă, și pavări semiregulate cu dale regulate de mai multe forme și cu fiecare colț (vârf) aranjat identic. Tiparele formate din dale periodice pot fi clasificate în 17 grupuri de tapet^⁠(d). O pavare care nu are un model care se repetă se numește neperiodică. O pavare aperiodică folosește un set mic de forme de dale care nu pot forma un model care se repetă. O teselare a spațiului, cunoscută și sub numele de fagure, poate fi definită în geometria din dimensiuni mai mari.

Descriere și terminologie

Terminologia pavărilor este asemănătoare cu cea folosită pentru poliedre, cu precizarea sensurilor. O latură este intersecția frontierelor a două dale alăturate; fiind de obicei un segment de dreaptă. Un vârf este un punct în care se întâlnesc trei sau mai multe dale. Cu acești termeni, o pavare izogonală, sau „tranzitivă pe vârfuri” este o pavare în care fiecare vârf este identic; adică aranjarea poligoanelor în jurul fiecărui vârf este aceeași.^[1] Domeniul fundamental este o formă, cum ar fi un dreptunghi, care se repetă pentru a forma pavarea.^[2] De exemplu, la o pavare regulată a planului cu pătrate în fiecare vârf se întâlnesc patru pătrate, rezultând o pavare pătrată.^[1]

Laturile poligoanelor nu sunt neapărat identice cu laturile dalelor. O pavare latură la latură este orice pavare poligonală în care dalele adiacente au în comun doar o singură latură, completă, adică nicio dală nu are în comun cu altă dală doar o parte a unei laturi, sau mai multe laturi în comun cu o aceeași dală. Într-o pavare latură la latură laturile poligoanelor și ale dalelor sunt aceleași. Pavarea familiară „perete de cărămidă” nu este latură la latură, deoarece latura lungă a fiecărei cărămizi dreptunghiulare este în contact cu alte două cărămizi.^[1]

O pavare normală este o teselare pentru care fiecare dală este topologic echivalentă cu un disc, intersecția oricăror două dale este sau o mulțime conexă, sau una vidă, iar toate dalele au frontiere uniforme. Aceasta înseamnă că toate dalele au aceleași cercuri înscrise și circumscrise; această condiție nu admite dale care sunt excesiv de lungi (infinit de lungi) sau excesiv de înguste (cu lățime nulă).^[3]

O pavare monoedrică este o teselare în care toate dalele sunt congruente; are un singur tip de dală. Un tip deosebit de interesant de teselare monoedrică este pavarea monoedrică spirală. Prima pavare spirală monoedrică a fost descoperită de Heinz Voderberg în 1936: pavarea Voderberg are un tip de dală în formă de eneagon neconvex.^[4] pavarea Hirschhorn, publicată de Michael D. Hirschhorn și D.C. Hunt în 1985, este o pavare pentagonală care folosește pentagoane neregulate: pentagoanele regulate nu pot pava planul euclidian deoarece unghiul intern al un pentagon regulat, 3 $π$ /5, nu este un divizor al lui 2 $π$ .^[5]^[6]^[7]

O pavare izoedrică este o variantă specială a unei pavări monoedrice în care toate dalele aparțin aceleiași clase de tranzitivitate, adică toate dalele sunt transformări ale aceluiași tip de dală, date de grupul de simetrie al dalei.^[3] Dacă un tip de dală admite o pavare, dar nicio astfel de pavare nu este izoedrică, atunci tipul de dală se numește anizoedric și formează pavări anizoedrice.

O pavare regulată este simetrică. Există doar trei pavări regulate: cele formate din triunghiuri echilaterale, pătrate sau hexagaone regulate. Toate aceste trei pavări sunt izogonale și monoedrice.^[8]

O pavare semiregulată folosește mai mult de un tip de poligon regulat într-un aranjament izogonal. Există opt pavări semiregulate (sau nouă dacă perechea de imagini în oglindă contează ca două).^[9] Acestea pot fi descrise prin configurația vârfurilor; de exemplu, o pavare semiregulată folosind pătrate și octogoane regulate are configurația vârfurilor 4.8² (la fiecare vârf se întîlnesc un pătrat și două octogoane).^[10] Sunt posibile multe pavări ale planului euclidian care nu sunt latură la latură, inclusiv familia de pavări pitagoreice, teselări care folosesc două dimensiuni de pătrate (parametrizate), fiecare pătrat atingând patru pătrate de cealaltă dimensiune.^[11] O pavare pe laturi este una în care fiecare dală se poate reflecta față de oricare dintre laturile sale exact peste poziția dalei învecinate, cum ar fi o pavările cu triunghiuri echilaterale sau isoscele.^[12]

Note

^ ^a ^b ^c Grünbaum & Shephard 1987, p. 59.
^ en Emmer, Michele; Schattschneider, Doris (8 mai 2007). M.C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration. Berlin Heidelberg: Springer. p. 325. ISBN 978-3-540-28849-7.
^ ^a ^b en Horne, Clare E. (2000). Geometric Symmetry in Patterns and Tilings. Woodhead Publishing. pp. 172, 175. ISBN 978-1-85573-492-0.
^ en Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling. p. 372. ISBN 978-1-4027-5796-9.
^ en Dutch, Steven (29 iulie 1999). „Some Special Radial and Spiral Tilings”. University of Wisconsin. Arhivat din original la 4 aprilie 2013. Accesat în 6 aprilie 2013.
^ en Hirschhorn, M. D.; Hunt, D. C. (1985). „Equilateral convex pentagons which tile the plane”. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 39 (1): 1–18. doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0 .
^ Eric W. Weisstein, Pentagon Tiling la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Regular Tessellations la MathWorld.
^ Stewart 2001, p. 75.
^ en NRICH (Millennium Maths Project) (1997). „Schläfli Tessellations”. University of Cambridge. Accesat în 26 aprilie 2013.
^ en Wells, David (1991). „two squares tessellation”. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 260–261. ISBN 978-0-14-011813-1.
^ en Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011). „Edge Tessellations and Stamp Folding Puzzles”. Mathematics Magazine. 84 (4): 283–89. doi:10.4169/math.mag.84.4.283.

Bibliografie

en Coxeter, H.S.M. (1973). „Section IV : Tessellations and Honeycombs”. Regular Polytopes. Dover Publications. ISBN 978-0-486-61480-9.
en Escher, M. C. (1974). J. L. Locher, ed. The World of M. C. Escher (ed. New Concise NAL). Abrams. ISBN 978-0-451-79961-6.
en Gardner, Martin (1989). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-521-8.
en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
en Gullberg, Jan (1997). Mathematics From the Birth of Numbers. Norton. ISBN 978-0-393-04002-9.
en Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake?. Weidenfeld and Nicolson. ISBN 978-0-297-60723-6.

Vezi și

Fagure (geometrie)

Legături externe

Materiale media legate de pavare la Wikimedia Commons
en Tegula (open-source software for exploring two-dimensional tilings of the plane, sphere and hyperbolic plane; includes databases containing millions of tilings)
en Wolfram MathWorld: Tessellation (good bibliography, drawings of regular, semiregular and demiregular tessellations)
en Tilings Encyclopedia (extensive information on substitution tilings, including drawings, people, and references)
en Tessellations.org (how-to guides, Escher tessellation gallery, galleries of tessellations by other artists, lesson plans, history)
en Eppstein, David. „The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling”. (list of web resources including articles and galleries)

Portal Matematică

[FOOTNOTEGrünbaumShephard198759-1] Grünbaum & Shephard 1987, p. 59.

[EmmerSchattschneider2007-2] Emmer, Michele; Schattschneider, Doris (8 mai 2007). M.C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration. Berlin Heidelberg: Springer. p. 325. ISBN 978-3-540-28849-7.

[Horne2000-3] Horne, Clare E. (2000). Geometric Symmetry in Patterns and Tilings. Woodhead Publishing. pp. 172, 175. ISBN 978-1-85573-492-0.

[Pickover2009-4] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling. p. 372. ISBN 978-1-4027-5796-9.

[5] Dutch, Steven (29 iulie 1999). „Some Special Radial and Spiral Tilings”. University of Wisconsin. Arhivat din original la 4 aprilie 2013. Accesat în 6 aprilie 2013.

[Hirschhorn1985-6] Hirschhorn, M. D.; Hunt, D. C. (1985). „Equilateral convex pentagons which tile the plane”. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 39 (1): 1–18. doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0 .

[7] Eric W. Weisstein, Pentagon Tiling la MathWorld.

[threeregular-8] Eric W. Weisstein, Regular Tessellations la MathWorld.

[FOOTNOTEStewart200175-9] Stewart 2001, p. 75.

[10] NRICH (Millennium Maths Project) (1997). „Schläfli Tessellations”. University of Cambridge. Accesat în 26 aprilie 2013.

[11] Wells, David (1991). „two squares tessellation”. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 260–261. ISBN 978-0-14-011813-1.

[12] Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011). „Edge Tessellations and Stamp Folding Puzzles”. Mathematics Magazine. 84 (4): 283–89. doi:10.4169/math.mag.84.4.283.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]