Număr triunghiular și pătratic

Pentru numerele triunghiulare pătratice, vedeți număr triunghiular pătratic.

Număr triunghiular și pătratic

Numărul triunghiular și pătratic 36 prezentat ca număr triunghiular și ca număr pătratic
Nr. total de termeni	Infinit
Subșir al	Numere poligonale
Formula	${\frac {n^{2}(n+1)}{2}}$
Primii termeni	0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900
Index OEIS	A001110 Square triangular

În matematică, un număr triunghiular și pătratic sau număr pătratic și triunghiular este un număr care este atât un număr triunghiular, cât și un număr pătratic. Există infinit de multe asemenea numere, primele câteva sunt:

0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625

Formule

Notând cu N_k al k-lea număr triunghiular și pătratic, cu s_k respectiv t_k numerele corespunzătoare pătratice și triunghiulare există relația:

$N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.$

Fie n rădăcina triunghiulară a unui număr triunghiular N = n(n + 1)/2. Rezolvând această ecuație de gradul 2 se obține:

$n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.$

Deci, N este triunghiular (n este întreg) dacă și numai dacă 8N + 1 este un pătrat. Prin urmare, numărul pătratic M² este și el triunghiular dacă și numai dacă 8M² + 1 este un pătrat, adică numerele x și y satisfac relația x² − 8y² = 1. Aceasta este o ecuație Pell cu n = 8. Toate ecuațiile Pell au pentru orice n soluția trivială x = 1, y = 0, care idexată este notată (x₀, y₀) = (1,0). Dacă (x_k, y_k) este cea de a k-a soluție netrivială a oricărei ecuații Pell pentru un n dat, se poate arăta că

${\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}$

Există o infinitate de soluții la orice ecuație Pell, printre care există una netrivială ori de câte ori n nu este un pătrat. Prima soluție netrivială când n = 8 este (3,1). Soluția (x_k, y_k) pentru n = 8 dă un număr triunghiular și pătratic și rădăcinile sale pătratice și triunghiulare după cum urmează:

$s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.$

Prin urmare, primul număr triunghiular și pătratic, derivat din (3,1), este 1, iar următorul, derivat din 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), este 36.

Șirurile N_k, s_k și t_k sunt șirurile OEIS A001110, respectiv OEIS A001109 și OEIS A001108.

În 1778 Leonhard Euler a determinat formula explicită

$N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.$

Alte formule echivalente (obținute prin dezvoltarea acestei formule) sunt:

${\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}$

Formulele explicite corespondente pentru s_k și t_k sunt:

${\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}$

Relații de recurență

Există relații de recurență pentru numerele triunghiulare și pătratice, precum și pentru laturile pătratului și triunghiului implicat:

${\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}$

Și:

${\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}$