Limită a unei funcții

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții.

Limita unei funcții într-un punct[modificare | modificare sursă]

Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, derivatei, integralei și alte studii.

Considerând o funcție se analizează comportamentul lui atunci când x se apropie de o valoare reală fixată xo. Pentru aceasta se presupune că f(x) este definită pentru orice x care se apropie de xo. Cu alte cuvinte, se presupune că domeniul de definiție A conține o mulțime de forma unde

Definiție („definiția cu ε și δ”): Funcția f are limita l în punctul xo dacă pentru orice există un număr astfel ca și

Faptul că funcția f are limita l în punctul xo se notează:

sau

Definiție („definiția cu șiruri”): Se spune că funcția f are limita l (finită sau infinită) în punctul dacă pentru orice șir convergent către șirul valorilor funcției este convergent către l.

Cazuri limită[modificare | modificare sursă]

Pentru cazul când unul sau amândouă numerele xo și l nu sunt finite, există următoarele definiții:   înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

  înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

  înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

  înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

  înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

  înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

  înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

  înseamnă: pentru orice există un astfel încât oricare ar fi cu proprietatea să avem

Limite laterale ale unei funcții[modificare | modificare sursă]

Definiție: Se spune că funcția are în punctul (punct de acumulare al mulțimii E) limita la stânga , dacă pentru orice vecinătate U a lui există o vecinătate V a lui , astfel încât, oricare ar fi să avem

Se notează:

În mod similar se definește limita la dreapta și se notează:

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Teorema 1. Fie o funcție și un punct de acumulare al lui E. Dacă atunci

Teorema 2. (Criteriul majorării) Dacă f și g sunt definite pe E, dacă și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui , astfel încât să fie valabilă inegalitatea pentru orice atunci

Limita unei funcții compuse[modificare | modificare sursă]

Fie funcțiile și funcția compusă:

pentru Fie un punct de acumulare al lui E și un punct de acumulare al lui F.

Teoremă. Dacă și dacă atunci funcția compusă are limită în și

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, București, 1975

Vezi și[modificare | modificare sursă]