Expresie bine definită

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În matematică o expresie bine definită[1] sau expresie neambiguă este o expresie căreia definiția sa îi conferă o interpretare sau valoare unică. Altfel, expresia este una care nu este bine definită sau este ambiguă.[2] O funcție este bine definită dacă dă același rezultat atunci când reprezentarea intrării este modificată fără a modifica valoarea intrării. De exemplu, dacă f are ca intrare numere reale, iar dacă f(0,5) nu este egală cu f(1/2), atunci f nu este bine definită (și deci nu este o funcție).[3] Termenul bine definit poate fi folosit și pentru a arăta că o expresie logică este nembiguă sau necontradictorie.[4]

O funcție care nu este bine definită nu este același lucru cu o funcție care este nedefinită. De exemplu, dacă f(x) = 1/x, atunci faptul că f(0) este nedefinită nu înseamnă că f este nu este bine definită, ci doar că acel 0 nu se află în domeniul de definiție al f.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Fie mulțimile cu și „se definește” drept dacă și dacă .

Atunci este bine definită dacă . De exemplu, dacă și , atunci va fi bine definită și egală cu .

În orice caz, dacă , atunci nu va fi bine definită deoarece este „ambiguă” pentru . De exemplu, dacă și , atunci ar putea fi atât 0 cât și 1, ceea ce o face ambiguă. Ca rezultat, ultima nu este bine definită, prin urmare nu este o funcție.

„Definiția” ca anticipare a definiției[modificare | modificare sursă]

Pentru a evita interpelările din jurul „definirii” din exemplul simplu anterior, „definiția” ar putea fi împărțită în doi pași logici simpli:

  1. Definiția unei relații binare: În exemplul
    (care nu este altceva decât un subset al produsului cartezian .)
  2. Afirmația: Relația binară este o funcție; în exemplul dat

În timp ce definiția din pasul 1 este formulată liber de orice altă definiție și este cu siguranță corectă (fără a fi nevoie să fie clasificată drept „bine definită”), afirmația din pasul 2 trebuie demonstrată. Adică este o funcție dacă și numai dacă , în care caz  — ca funcție — este bine definită. Pe de altă parte, dacă , atunci pentru , ar fi și , care fac relația binară nefuncțională și prin urmare nefiind bine definită ca funcție. Colocvial, despre „funcția” se spune că este ambiguă în punctul (deși prin definiție nu există o „funcție ambiguă”), iar „definiția” originală este inutilă. În ciuda acestor probleme logice subtile, este destul de comun să se folosească anticipat termenul de definiție pentru „definiții” de acest fel, din trei motive:

  1. Oferă o procedură utilă a abordării în doi pași.
  2. Raționamentul matematic relevant, adică pasul al doilea, este același în ambele cazuri.
  3. În textele matematice, afirmația este „100 %” adevărată.

Notații bine definite[modificare | modificare sursă]

Pentru numerele reale, produsul este neambiguu deoarece (prin urmare se spune că notația este bine definită).[2] Această proprietate, cunoscută drept asociativitatea înmulțirii, garantează că rezultatul nu depinde de ordinea înmulțirilor, astfel că descrierea secvenței operațiilor poate fi omisă.

Pe de altă parte, operația de scădere nu este asociativă. Totuși, există convenția că este o prescurtare pentru , prin urmare este bine definită.

Nici împărțirea nu este asociativă. Însă în expresia convențiile nu sunt așa de bine stabilite, ca urmare se consideră că expresia nu este bine definită.

Alte utilizări ale termenului[modificare | modificare sursă]

Se spune că o soluție a unei ecuații cu derivate parțiale este bine definită dacă este determinată permanent de condițiile la limită, chiar dacă ele se tot schimbă.[2]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Dumitru Bușneg, Dana Piciu, Florentina Chirteș, Probleme de logică și teoria mulțimilor, Craiova: Ed. Universitaria, 2003, ISBN: 973-8043-347-7
  2. ^ a b c en Weisstein, Eric W. „Well-Defined”. From MathWorld – A Wolfram Web Resource. Accesat în . 
  3. ^ en Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a function is "single-valued," or, as we prefer to say ... a function is well defined.", Allyn and Bacon, 1965.
  4. ^ en „The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon”. Math Vault (în engleză). . Accesat în . 

Bibliografie[modificare | modificare sursă]