Factor integrant

În analiza matematică, factorul integrant este o funcție care, înmulțită cu o ecuație diferențială de studiat, o transformă într-o ecuație diferențială exactă.

Teoria factorului integrant a fost dezvoltată de Leonhard Euler (1768), dar ideea utilizării acestuia aparține lui Johann Bernoulli și lui Nikolaus Bernoulli (1720).

Cazul ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi

Considerăm ecuația diferențială ordinară de ordinul întâi:

$y'+P(x)y=Q(x).$

Se va căuta factorul integrant de forma:

$M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds},$

astfel încât, prin înmulțirea cu ecuația diferențială dată, membrul stâng să devină o derivată obișnuită. Derivata parțială devine o derivată totală:

$(1)\;\;M(x){\underset {\text{derivata partiala}}{\underbrace {(y'+P(x)y)} }}$

$(2)\;\;M(x)y'+M(x)P(x)y$

$(3)\;\;{\underset {\text{derivata totala}}{\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} }}$

La trecerea de la pasul (2) la pasul (3) devine necesar ca $M(x)P(x)=M'(x),$ care este o ecuație diferențială cu variabile separabile, a cărei soluție dă pe $M(x)$ în funcție de $P(x)$.

$(4)\;\;M(x)P(x)=M'(x)$

$(5)\;\;P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}.$