Funcție continuă

În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o modificare mică a argumentului în jurul punctului dat produce o modificare mică a imaginii funcției și, mai mult, se poate limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Continuitatea este o noțiune clarificată la începutul secolului al XIX-lea prin contribuțiile lui Cauchy.

Continuitate într-un spațiu metric

Dacă $f:X\to Y$, unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu, $X=Y=\mathbb {R}$), funcția f se numește continuă în punctul $x_{0}\in X$ dacă pentru orice valoare $\varepsilon \in (0,\infty )$ există un $\delta _{\varepsilon }\in (0,\infty )$ astfel încât $\forall x\in X\{x_{0}\}\,,\ d_{X}(x,x_{0})<\delta _{\varepsilon }$, să aibă loc $d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon$, unde $d_{X}$ reprezintă distanța din spațiul metric X, iar $d_{Y}$ reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare $x_{0}$ dacă $\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu se poate formula continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,,\ f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}0&,&x\leq 0\\1&,&x>0\end{array}}\right.$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,,\ f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}0&,&x=0\\\sin {\frac {1}{x}}&,&x\neq 0\end{array}}\right.$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Continuitatea funcțiilor reale

Definiția 1. Fief o funcție definită pe $E\subseteq \mathbb {R}$ și $x_{0}\in E.$ Se spune că funcția f este continuă în punctul $x_{0}$ dacă pentru orice $\epsilon >0,\;(\exists )\delta (\epsilon )>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E$ cu proprietatea $|x-x_{0}|<\delta (\epsilon ),$ se respectă relația:   $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon .$

Definiția 2 Se spune că funcția $f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ este continuă în punctul $x_{0}\in E$ dacă pentru orice șir $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ convergent către $x_{0},$ șirul valorilor funcției $\{f(x)\}_{n\in \mathbb {N} }$ converge către $f(x_{0}).$

Definiția 3. Spunem că funcția f definită pe o vecinătate a punctului $x_{0}$ este continuă în $x_{0}$ dacă f are limita în punctul $x_{0}\in E$ și dacă această limită este egală cu $f(x_{0}).$

Vezi și

• Limită a unei funcții
• Derivată

Bibliografie

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.