Aplicație multiliniară

În algebra liniară o aplicație multiliniară este o funcție de mai multe variabile care este liniară separat în fiecare variabilă. Mai precis, o aplicație multiliniară este o funcție

f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}

unde $V_{1},\ldots ,V_{n}$ și $W$ sunt spații vectoriale (sau module peste un inel comutativ), cu următoarea proprietate: pentru fiecare $i$ , dacă toate variabilele cu excepția lui $v_{i}$ sunt menținute constante, atunci $f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})$ este o funcție liniară de $v_{i}$ .^[1]

O aplicație multiliniară de o variabilă este o aplicație liniară, iar de două variabile este o aplicație biliniară. În general, o aplicație multiliniară de $k$ variabile se numește o aplicație $k$ -liniară. Dacă codomeniul unei aplicații multiliniare este corpul scalarilor, se numește formă multiliniară^⁠(d). Aplicațiile multiliniare și formele multiliniare sunt obiecte fundamentale de studiu în algebra multiliniară.

Dacă toate variabilele aparțin aceluiași spațiu, formele pot fi simetrice, antisimetrice, sau aplicații k-liniare alternate. Acestea din urmă coincid dacă inelul subiacent (sau corpul) are o caracteristică diferită de 2, altfel primele două coincid.

Exemple

Orice aplicație biliniară este o aplicație multiliniară. De exemplu, orice produs scalar dintr-un spațiu vectorial este o aplicație multiliniară, la fel ca produsul vectorial al vectorilor din $\mathbb {R} ^{3}$ .
Determinantul unei matrice este o funcție multiliniară alternată a coloanelor (sau liniilor) unei matrice pătrate.
Dacă $F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ este o funcție netedă^⁠(d), atunci a $k$ -a derivată a lui $F$ în orice punct $p$ din domeniul său poate fi văzută ca o $k$ -funcție liniară simetrică $D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ .

Reprezentare prin coordonate

Fie $f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}$ o aplicație multiliniară în spațiile vectoriale finit dimensionale $V_{i}\!$ cu dimensiunea $d_{i}\!$ și $W\!$ un spațiu cu dimensiunea $d\!$ . Dacă se alege baza $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}$ pentru fiecare $V_{i}\!$ și baza $\{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}$ pentru $W\!$ (folosind caractere grase pentru vectori), atunci se poate defini o colecție de scalari $A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}$ prin

f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.

Atunci scalarii $\{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}$ determină complet funcția multiliniară $f\!$ . În particular, dacă

{\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!

pentru $1\leq i\leq n\!$ , atunci

f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.

Exemple

Fie forma triliniară

g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,

unde $V i = R 2, d i = 2, i = 1,2,3$ , iar $W = R, d = 1$ .

O bază pentru orice $V i$ este $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.$ Fie

g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},

unde $i,j,k\in \{1,2\}$ . Cu alte cuvinte, constanta $A_{ijk}$ este o valoare a funcției în unul dintre cele opt triplete posibile ale vectorilor bazei (deoarece există două opțiuni pentru fiecare dintre cei trei $V_{i}$ ), și anume:

\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.

Orice vector ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ poate fi exprimat printr-o combinație liniară a vectorilor bazei

{\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).

Valoarea funcției pentru o colecție arbitrară de trei vectori ${\textbf {v}}_{i}\in R^{2}$ poate fi exprimată prin

g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.

Sau, în formă dezvoltată

{\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}

Relația cu produsele tensoriale

Există o corespondență naturală biunivocă între aplicațiile multiliniare

f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}

și aplicațiile liniare

F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}

unde prin $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ este notat produsul tensorial^⁠(d) al $V_{1},\ldots ,V_{n}$ . Relația dintre funcțiile $f\!$ și $F\!$ este dată de formula

f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).

Funcții multiliniare pe matrici n×n

Se pot considera funcțiile multiliniare pe o matrice $n \times n$ peste un inel comutativ $K$ cu element neutru, ca fiind funcții pe liniile (sau coloanele) matricei. Fie $A$ o astfel de matrice, iar $a i, 1 \leq i \leq n$ rândurile ei. Atunci funcția multiliniară $D$ poate fi scrisă

D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),

satisfăcând relația

D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).

Dacă ${\hat {e}}_{j}$ reprezintă a $j$ -lea linie a matricei unitate, se poate exprima fiecare linie $a i$ ca suma

a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.

Folosind multiliniaritatea lui $D$ se poate rescrie $D (A)$ sub forma

D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).

Continuând această substituție pentru toate valorile lui $a i$ se obține pentru $1 \leq i \leq n$ ,

D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).

Prin urmare $D (A)$ este determinată unic prin modul cum operează $D$ pe ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ .

Exemple

În cazul matricilor 2×2 se obține

D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})

unde ${\hat {e}}_{1}=[1,0]$ și ${\hat {e}}_{2}=[0,1]$ . Dacă se restricționează $D$ să fie o funcție alternată, atunci $D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0$ și $D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)$ . Cu $D(I)=1$ se obține determinantul matricilor 2×2: