Aplicație multiliniară

În algebra liniară o aplicație multiliniară este o funcție de mai multe variabile care este liniară separat în fiecare variabilă. Mai precis, o aplicație multiliniară este o funcție

$f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}$

unde $V_{1},\ldots ,V_{n}$ și $W$ sunt spații vectoriale (sau module peste un inel comutativ), cu următoarea proprietate: pentru fiecare $i$, dacă toate variabilele cu excepția lui $v_{i}$ sunt menținute constante, atunci $f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})$ este o funcție liniară de $v_{i}$.

O aplicație multiliniară de o variabilă este o aplicație liniară, iar de două variabile este o aplicație biliniară. În general, o aplicație multiliniară de k variabile se numește o aplicație k-liniară. Dacă codomeniul unei aplicații multiliniare este corpul scalarilor, se numește formă multiliniară^⁠(d). Aplicațiile multiliniare și formele multiliniare sunt obiecte fundamentale de studiu în algebra multiliniară.

Dacă toate variabilele aparțin aceluiași spațiu, formele pot fi simetrice, antisimetrice, sau aplicații k-liniare alternate. Acestea din urmă coincid dacă inelul subiacent (sau corpul) are o caracteristică diferită de 2, altfel primele două coincid.

Exemple

• Orice aplicație biliniară este o aplicație multiliniară. De exemplu, orice produs scalar dintr-un spațiu vectorial este o aplicație multiliniară, la fel ca produsul vectorial al vectorilor din $\mathbb {R} ^{3}$.
• Determinantul unei matrice este o funcție multiliniară alternată a coloanelor (sau liniilor) unei matrice pătrate.
• Dacă $F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ este o funcție netedă^⁠(d), atunci a k-a derivată a lui F în orice punct p din domeniul său poate fi văzută ca o k-funcție liniară simetrică $D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$.

Reprezentare prin coordonate

Fie $f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}$ o aplicație multiliniară în spațiile vectoriale finit dimensionale $V_{i}\!$ cu dimensiunea $d_{i}\!$ și $W\!$ un spațiu cu dimensiunea $d\!$. Dacă se alege baza $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}$ pentru fiecare $V_{i}\!$ și baza $\{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}$ pentru $W\!$ (folosind caractere grase pentru vectori), atunci se poate defini o colecție de scalari $A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}$ prin

$f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.$

Atunci scalarii$\{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}$ determină complet funcția multiliniară $f\!$. În particular, dacă

${\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!$

pentru $1\leq i\leq n\!$, atunci

$f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.$

Exemple

Fie forma triliniară

$g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,$

unde V_i = R², d_i = 2, i = 1,2,3, iar W = R, d = 1.

O bază pentru orice V_i este $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.$ Fie

$g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},$

unde $i,j,k\in \{1,2\}$. Cu alte cuvinte, constanta $A_{ijk}$ este o valoare a funcției în unul dintre cele opt triplete posibile ale vectorilor bazei (deoarece există două opțiuni pentru fiecare dintre cei trei $V_{i}$ ), și anume:

$\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.$

Orice vector ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ poate fi exprimat printr-o combinație liniară a vectorilor bazei

${\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).$

Valoarea funcției pentru o colecție arbitrară de trei vectori ${\textbf {v}}_{i}\in R^{2}$ poate fi exprimată prin

$g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.$

Sau, în formă dezvoltată

${\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}$

Relația cu produsele tensoriale

Există o corespondență naturală biunivocă între aplicațiile multiliniare

$f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}$

și aplicațiile liniare

$F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}$

unde prin $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ este notat produsul tensorial^⁠(d) al $V_{1},\ldots ,V_{n}$. Relația dintre funcțiile $f\!$ și $F\!$ este dată de formula

$f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).$

Funcții multiliniare pe matrici n×n

Se pot considera funcțiile multiliniare pe o matrice n×n peste un inel comutativ K cu element neutru, ca fiind funcții pe liniile (sau coloanele) matricei. Fie A o astfel de matrice, iar a_i, 1 ≤ i ≤ n rândurile ei. Atunci funcția multiliniară D poate fi scrisă

$D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),$

satisfăcând relația

$D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).$

Dacă ${\hat {e}}_{j}$ reprezintă a j-lea linie a matricei unitate, se poate exprima fiecare linie a_i ca suma

$a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.$

Folosind multiliniaritatea lui D se poate rescrie D(A) sub forma

$D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).$

Continuând această substituție pentru toate valorile lui a_i se obține pentru 1 ≤ i ≤ n,

$D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).$

Prin urmare D(A) este determinată unic prin modul cum operează D pe ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$.

Exemple

În cazul matricilor 2×2 se obține

$D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})$

unde ${\hat {e}}_{1}=[1,0]$ și ${\hat {e}}_{2}=[0,1]$. Dacă se restricționează $D$ să fie o funcție alternată, atunci $D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0$ și $D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)$. Cu $D(I)=1$ se obține determinantul matricilor 2×2:

$D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.$

Proprietăți

• O aplicație multiliniară are valoarea zero ori de câte ori unul dintre argumentele sale este zero.

Vezi și

• Formă algebrică
• Formă multiliniară
• Polinom omogen
• Funcție omogenă
• Tensor