Caracteristică (algebră)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În teoria algebrică a inelelor și a corpurilor, caracteristica este un număr caracteristic unui inel sau corp care arată de câte ori trebuie adunat elementul neutru multiplicativ pentru a se obține elementul neutru aditiv. Dacă acest lucru nu este posibil, se va considera că această caracteristică are valoarea zero.

Caracteristica unui inel[modificare | modificare sursă]

Se consideră un inel unitar nenul notat   . Dacă elementul 1 are ordinul infinit în grupul    se spune că A este un inel de caracteristică 0 și se scrie    Deci:

  

Dacă ordinul lui 1 în grupul    este p, se spune că inelul A are caracteristică p și se scrie    Acest lucru revine la a spune că p este cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că   

De exemplu, inelul întregilor este un inel de caracteristică 0, pe când    este inel de caracteristică 3.

Observație. Dacă inelul    este domeniu de integritate de caracteristică p, atunci p este număr prim.

Într-adevăr, dacă p nu ar fi prim, atunci de poate scrie    cu    numere naturale mai mici decât p și diferite de 1 și p. Cum    iar    obținem că    și cum A este domeniu de integritate, se deduce că    sau    contradicând minimalitatea lui p cu proprietatea că  

Caracteristica unui corp[modificare | modificare sursă]

Caracteristica unui corp este zero dacă acest corp conține un corp izomorf cu corpul al numerelor raționale, iar în caz contrar este numărul prim] p, pentru care:

unde e este elementul neutru pentru operația de înmulțire din

Caracteristica unui corp se determină astfel: se consideră omomorfismul de inele definit prin:

deci și

și nucleul său, care fiind un subgrup în are forma cu p întreg pozitiv. Dacă atunci deci are caracteristica zero. Dacă atunci p este un număr prim și caracteristica lui este p.