Fie V un spațiu vectorial peste corpul K .
Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație
g
:
V
×
V
→
K
,
{\displaystyle g:V\times V\rightarrow K,\!}
1)
g
(
α
x
+
β
y
,
z
)
=
α
g
(
x
,
z
)
+
β
g
(
y
,
z
)
;
{\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\;z)=\alpha g(x,z)+\beta g(y,z);\!}
2)
g
(
x
,
α
y
+
β
z
)
=
α
g
(
x
,
y
)
+
β
g
(
x
,
z
)
;
{\displaystyle g(x,\;\alpha y+\beta z)=\alpha g(x,y)+\beta g(x,z);\!}
∀
x
,
y
,
z
∈
V
{\displaystyle \forall x,y,z\in V\!}
∀
α
,
β
∈
K
.
{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in K.\!}
Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicație
g
:
V
×
V
→
K
,
{\displaystyle g:V\times V\rightarrow K,\!}
liniară în ambele argumente.
V formează un spațiu vectorial peste K , în raport cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor .
Exemple de forme biliniare:
1
)
{\displaystyle 1)}
Produsul scalar canonic pe spațiul vectorial
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.\!}
⟨
,
⟩
:
R
n
×
R
n
→
R
n
,
{\displaystyle \langle ,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},\!}
B
=
{
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
}
{\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}\!}
⟨
x
,
y
⟩
=
x
1
y
2
+
x
2
y
2
+
⋯
+
x
n
y
n
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{2}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}\!.}
2
)
{\displaystyle 2)}
φ
:
R
2
×
R
2
→
R
{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
φ
(
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
)
=
x
1
y
2
+
x
2
y
1
.
{\displaystyle \varphi ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}.}
3
)
{\displaystyle 3)}
φ
:
R
2
×
R
2
→
R
{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
φ
(
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
)
=
x
1
y
2
−
2
x
2
y
1
+
3
x
1
y
2
.
{\displaystyle \varphi ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1}+3x_{1}y_{2}.}
Formă biliniară simetrică, respectiv antisimetrică [ modificare | modificare sursă ] O formă biliniară
g
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle g:V\times V\rightarrow K\!}
a) simetrică dacă
g
(
x
,
y
)
=
g
(
y
,
x
)
,
∀
x
,
y
∈
V
;
{\displaystyle g(x,y)=g(y,x),\;\forall x,y\in V;\!}
b) antisimetrică dacă
g
(
x
,
y
)
=
−
g
(
y
,
x
)
,
∀
x
,
y
∈
V
.
{\displaystyle g(x,y)=-g(y,x),\;\forall x,y\in V.\!}
Fie
V
n
{\displaystyle V_{n}\!}
spațiu vectorial n -dimensional,
B
=
{
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
}
{\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}\!}
bază în spațiul vectorial
V
n
{\displaystyle V_{n}\!}
vectori oarecare
x
=
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\!}
y
=
∑
i
=
1
n
y
i
e
i
.
{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}.\!}
Expresia formei biliniare g , pentru vectorii x și y , va fi dată de:
g
(
x
,
y
)
=
g
(
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
g
(
e
i
,
y
)
=
{\displaystyle g(x,y)=g(\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\;y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g(e_{i},y)=\!}
=
∑
i
=
1
n
x
i
g
(
e
i
,
∑
j
=
1
n
y
j
e
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
y
j
g
(
e
i
,
e
j
)
=
{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}g(e_{i},\;\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}y_{j}g(e_{i},e_{j})=\!}
=
∑
1
≤
i
,
j
≤
n
a
i
,
j
x
i
y
j
.
{\displaystyle =\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}x_{i}y_{j}.\!}
unde s-a notat:
a
i
j
=
g
(
e
i
,
e
j
)
,
i
,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
.
{\displaystyle a_{ij}=g(e_{i},e_{j}),\;i,j=1,2,\cdots ,n.\!}
