Formă biliniară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Fie V un spațiu vectorial peste corpul K. Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație g: V \times V \rightarrow K, \! care satisface condițiile:

1) g(\alpha x + \beta y, \; z) = \alpha g(x, z) + \beta g (y, z); \!
2) g(x, \; \alpha y + \beta y) = \alpha g(x, y) + \beta g (x, z); \!

\forall x, y, z \in V \! și \forall \alpha, \beta \in K. \!

Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicație g: V \times V \rightarrow K, \! liniară în ambele argumente.


Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V formează un spațiu vectorial peste K, în raport cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Produsul scalar canonic pe spațiul vectorial \mathbb R^n. \!

\langle , \rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n, \! având în baza canonică B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! expresia analitică \langle x, y \rangle = x_1y_2 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n, \! este o formă biliniară.

Formă biliniară simetrică, respectiv antisimetrică[modificare | modificare sursă]

O formă biliniară g: V \times V \rightarrow K \! se numește

a) simetrică dacă g(x, y) = g(y, x), \; \forall x, y \in V; \!
b) antisimetrică dacă g(x, y) = - g (y, x), \; \forall x, y \in V. \!

Cazul spațiului n-dimensional[modificare | modificare sursă]

Fie V_n \! un spațiu vectorial n-dimensional, B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \! o bază în spațiul vectorial V_n \! și doi vectori oarecare x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \! și y = \sum_{i=1}^n y_i e_i. \!

Expresia formei biliniare g, pentru vectorii x și y, va fi dată de:

g(x, y) = g (\sum_{i=1}^n x_i e_i, \; y) = \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, y) =   \!
= \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, \; \sum_{j=1}^n y_j e_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n y_j g(e_i, e_j) =  \!
= \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i  y_j. \!

unde s-a notat: a_{ij} = g(e_i, e_j), \; i, j = 1, 2, \cdots , n. \!

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]